Google
Câu hỏi: Cho $m={{\log }_{a}}\sqrt{ab}$ với $a,b>1$ và $P=1010\log _{a}^{2}b+2020{{\log }_{b}}a$. Khi đó giá trị của m để P đạt giá trị nhỏ nhất là
A. 1
B. 2
C. 4
D. 5
A. 1
B. 2
C. 4
D. 5
Ta có $P=1010\log _{a}^{2}b+2020{{\log }_{b}}a=1010\log _{a}^{2}b+\dfrac{2020}{{{\log }_{a}}b}$.
Đặt $t={{\log }_{a}}b$. Khi đó $P=1010{{t}^{2}}+\dfrac{2020}{t}$.
Vì $a,b>1$ nên $t={{\log }_{a}}b>0$. Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:
$P=1010{{t}^{2}}+\dfrac{2020}{t}=1010{{t}^{2}}+\dfrac{1010}{t}+\dfrac{1010}{t}\ge 3\sqrt[3]{{{1010}^{3}}}=3030$.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $1010{{t}^{2}}=\dfrac{1010}{t}\Rightarrow t=1$.
Ta có $m={{\log }_{a}}\sqrt{ab}=\dfrac{1}{2}{{\log }_{a}}\left( ab \right)=\dfrac{1}{2}\left( 1+{{\log }_{a}}b \right)=\dfrac{1}{2}\left( 1+t \right)=\dfrac{1}{2}\left( 1+1 \right)=1$.
Đặt $t={{\log }_{a}}b$. Khi đó $P=1010{{t}^{2}}+\dfrac{2020}{t}$.
Vì $a,b>1$ nên $t={{\log }_{a}}b>0$. Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:
$P=1010{{t}^{2}}+\dfrac{2020}{t}=1010{{t}^{2}}+\dfrac{1010}{t}+\dfrac{1010}{t}\ge 3\sqrt[3]{{{1010}^{3}}}=3030$.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $1010{{t}^{2}}=\dfrac{1010}{t}\Rightarrow t=1$.
Ta có $m={{\log }_{a}}\sqrt{ab}=\dfrac{1}{2}{{\log }_{a}}\left( ab \right)=\dfrac{1}{2}\left( 1+{{\log }_{a}}b \right)=\dfrac{1}{2}\left( 1+t \right)=\dfrac{1}{2}\left( 1+1 \right)=1$.
Đáp án A.