Cho $m = \log_{a} \sqrt{a b}$ với $a, b > 1$ và $P=1010\log...

The Knowledge · 14/12/21

Câu hỏi: Cho

m = \log_{a} \sqrt{a b}

với

a, b > 1

và

P = 1010 \log_{a}^{2} b + 2020 \log_{b} a

. Khi đó giá trị của m để P đạt giá trị nhỏ nhất là
A. 1
B. 2
C. 4
D. 5

Ta có

P = 1010 \log_{a}^{2} b + 2020 \log_{b} a = 1010 \log_{a}^{2} b + \frac{2020}{\log_{a} b}

.
Đặt

t = \log_{a} b

. Khi đó

P = 1010 t^{2} + \frac{2020}{t}

.
Vì

a, b > 1

nên

t = \log_{a} b > 0

. Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:

P = 1010 t^{2} + \frac{2020}{t} = 1010 t^{2} + \frac{1010}{t} + \frac{1010}{t} \geq 3 \sqrt[3]{1010^{3}} = 3030

.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

1010 t^{2} = \frac{1010}{t} \Rightarrow t = 1

.
Ta có

m = \log_{a} \sqrt{a b} = \frac{1}{2} \log_{a} (a b) = \frac{1}{2} (1 + \log_{a} b) = \frac{1}{2} (1 + t) = \frac{1}{2} (1 + 1) = 1

.

Đáp án A.

Cho m=logaab với a,b>1 và $P=1010\log...