Google
Câu hỏi: Cho $M$ là tập hợp các số phức $z$ thỏa mãn $\left| 2z-i \right|=\left| 2+iz \right|$. Gọi ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ là hai số phức thuộc tập hợp $M$ sao cho $\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=1$. Tính giá trị của biểu thức $P=\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|$.
A. $P=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
B. $P=\sqrt{3}$.
C. $P=2$.
D. $$ $P=\sqrt{2}$.
A. $P=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
B. $P=\sqrt{3}$.
C. $P=2$.
D. $$ $P=\sqrt{2}$.
Gọi $z=x+yi\left( x;y\in \mathbb{R} \right)$.
Ta có $\left| 2z-i \right|=\left| 2+iz \right|$ ${{A}_{1}},$ $\Rightarrow \sqrt{4{{x}^{2}}+{{\left( 2y-1 \right)}^{2}}}=\sqrt{{{\left( 2-y \right)}^{2}}+{{x}^{2}}}$
$\Rightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=1$
Gọi ${{A}_{1}},{{A}_{2}}$ là biểu diễn tương ứng của ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ $\Rightarrow {{A}_{1}};{{A}_{2}}$ thuộc đường tròn $\left( C \right)$ có tâm $O\left( 0;0 \right)$, bán kính bằng $1$.
Theo giả thiết $\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=1$ $\Rightarrow {{A}_{1}}{{A}_{2}}=1$ $\Rightarrow \Delta O{{A}_{1}}{{A}_{2}}$ đều cạnh $=1$.
Khi đó, $P=\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|=2OK$ $=2\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$ ( $K$ là trung điểm ${{A}_{1}}{{A}_{2}}$ ).
Ta có $\left| 2z-i \right|=\left| 2+iz \right|$ ${{A}_{1}},$ $\Rightarrow \sqrt{4{{x}^{2}}+{{\left( 2y-1 \right)}^{2}}}=\sqrt{{{\left( 2-y \right)}^{2}}+{{x}^{2}}}$
$\Rightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=1$
Gọi ${{A}_{1}},{{A}_{2}}$ là biểu diễn tương ứng của ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ $\Rightarrow {{A}_{1}};{{A}_{2}}$ thuộc đường tròn $\left( C \right)$ có tâm $O\left( 0;0 \right)$, bán kính bằng $1$.
Theo giả thiết $\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=1$ $\Rightarrow {{A}_{1}}{{A}_{2}}=1$ $\Rightarrow \Delta O{{A}_{1}}{{A}_{2}}$ đều cạnh $=1$.
Khi đó, $P=\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|=2OK$ $=2\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$ ( $K$ là trung điểm ${{A}_{1}}{{A}_{2}}$ ).
Đáp án B.