Google
Câu hỏi: Cho $m$ là số thực, biết phương trình ${{z}^{2}}-2mz+9=0$ có hai nghiệm phức ${{z}_{1}}$, ${{z}_{2}}$ (có phần ảo khác 0). Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m$ sao cho ${{z}_{1}}\left| \overline{{{z}_{2}}} \right|+{{z}_{2}}\left| \overline{{{z}_{1}}} \right|<16$ ?
A. $3\cdot $
B. $4\cdot $
C. $6\cdot $
D. $5\cdot $
A. $3\cdot $
B. $4\cdot $
C. $6\cdot $
D. $5\cdot $
Phương trình ${{z}^{2}}-2mz+9=0 \left( 1 \right)$ có ${\Delta }'={{m}^{2}}-9$.
Vì phương trình $\left( 1 \right)$ có hai nghiệm phức nên ${\Delta }'<0$ $\Leftrightarrow {{m}^{2}}-9<0$ $\Leftrightarrow -3<m<3$.
Vì ${{z}_{1}}$, ${{z}_{2}}$ là hai số phức liên hợp nên $\left| \overline{{{z}_{2}}} \right|=\left| \overline{{{z}_{1}}} \right|=\left| {{z}_{1}} \right|=\sqrt{{{m}^{2}}+9-{{m}^{2}}}=3$.
Khi đó ${{z}_{1}}\left| \overline{{{z}_{2}}} \right|+{{z}_{2}}\left| \overline{{{z}_{1}}} \right|<16$ $\Leftrightarrow {{z}_{1}}\left| {{z}_{1}} \right|+{{z}_{2}}\left| {{z}_{1}} \right|<16$ $\Leftrightarrow \left| {{z}_{1}} \right|\left( {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right)<16$.
Theo định lý Viet ta có ${{z}_{1}}+{{z}_{2}}=2m$.
Suy ra $\left| {{z}_{1}} \right|\left( {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right)<16$ $\Leftrightarrow 3.2m<16$ $\Leftrightarrow m<\dfrac{8}{3}$.
Vì $m<\dfrac{8}{3}$ và $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \left\{ -2; -1; 0; 1; 2 \right\}$.
Vậy có 5 giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Vì phương trình $\left( 1 \right)$ có hai nghiệm phức nên ${\Delta }'<0$ $\Leftrightarrow {{m}^{2}}-9<0$ $\Leftrightarrow -3<m<3$.
Vì ${{z}_{1}}$, ${{z}_{2}}$ là hai số phức liên hợp nên $\left| \overline{{{z}_{2}}} \right|=\left| \overline{{{z}_{1}}} \right|=\left| {{z}_{1}} \right|=\sqrt{{{m}^{2}}+9-{{m}^{2}}}=3$.
Khi đó ${{z}_{1}}\left| \overline{{{z}_{2}}} \right|+{{z}_{2}}\left| \overline{{{z}_{1}}} \right|<16$ $\Leftrightarrow {{z}_{1}}\left| {{z}_{1}} \right|+{{z}_{2}}\left| {{z}_{1}} \right|<16$ $\Leftrightarrow \left| {{z}_{1}} \right|\left( {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right)<16$.
Theo định lý Viet ta có ${{z}_{1}}+{{z}_{2}}=2m$.
Suy ra $\left| {{z}_{1}} \right|\left( {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right)<16$ $\Leftrightarrow 3.2m<16$ $\Leftrightarrow m<\dfrac{8}{3}$.
Vì $m<\dfrac{8}{3}$ và $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \left\{ -2; -1; 0; 1; 2 \right\}$.
Vậy có 5 giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Đáp án D.