Google
Câu hỏi: Cho $\left| z-1 \right|=5$, giá trị lớn nhất của $P={{\left| z-i \right|}^{2}}-{{\left| \overline{z}-2 \right|}^{2}}$ bằng
A. $1+10\sqrt{5}$
B. $1+8\sqrt{3}$
C. $1+8\sqrt{5}$
D. $1+12\sqrt{5}$
A. $1+10\sqrt{5}$
B. $1+8\sqrt{3}$
C. $1+8\sqrt{5}$
D. $1+12\sqrt{5}$
Ta có $\left| z-1 \right|=5\Leftrightarrow {{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}={{5}^{2}}$
Lại có $P={{\left| z-i \right|}^{2}}-{{\left| \overline{z}-2 \right|}^{2}}={{x}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}-{{\left( x-2 \right)}^{2}}-{{y}^{2}}=4\text{x}-2y-3=4\left( x-1 \right)-2y+1$
Theo bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có:
$P=4\left( x-1 \right)-2y+1\le \sqrt{{{4}^{2}}+{{2}^{2}}}\sqrt{{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}}+1=\sqrt{20}.\sqrt{{{5}^{2}}}+1=10\sqrt{5}+1$.
Lại có $P={{\left| z-i \right|}^{2}}-{{\left| \overline{z}-2 \right|}^{2}}={{x}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}-{{\left( x-2 \right)}^{2}}-{{y}^{2}}=4\text{x}-2y-3=4\left( x-1 \right)-2y+1$
Theo bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có:
$P=4\left( x-1 \right)-2y+1\le \sqrt{{{4}^{2}}+{{2}^{2}}}\sqrt{{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}}+1=\sqrt{20}.\sqrt{{{5}^{2}}}+1=10\sqrt{5}+1$.
Đáp án A.