Google
Câu hỏi: Cho $\left( H \right)$ là hình phẳng giới hạn bởi parabol $\left( P \right):y={{x}^{2}}$, tiếp tuyến với $\left( P \right)$ tại điểm $M\left( 2;4 \right)$ và trục hoành. Tính diện tích của hình phẳng $\left( H \right)$ ?
A. $\dfrac{2}{3}.$
B. $\dfrac{8}{3}.$
C. $\dfrac{1}{3}.$
D. $\dfrac{4}{3}.$
A. $\dfrac{2}{3}.$
B. $\dfrac{8}{3}.$
C. $\dfrac{1}{3}.$
D. $\dfrac{4}{3}.$
Ta có ${y}'={{\left( {{x}^{2}} \right)}^{\prime }}=2x$.
Tiếp tuyến d với $\left( P \right)$ tại điểm $M\left( 2;4 \right)$ có phương trình là:
$y={f}'\left( 2 \right)\left( x-2 \right)+4\Leftrightarrow y=4\left( x-2 \right)+4\Leftrightarrow y=4x-4.$
Giao điểm của $d\text{ v }\!\!\grave{\mathrm{a}}\!\!\text{ }Ox$ là $A\left( 1;0 \right)$
Trên đoạn $\left[ 0;1 \right]$ hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số $y={{x}^{2}}$ và trục hoành.
Trên đoạn $\left[ 1;\text{ 2} \right]$ hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số $y={{x}^{2}}$ và tiếp tuyến $d$.
Vậy diện tích của hình phẳng $\left( H \right)$ được xác định là: $S=\int\limits_{0}^{1}{{{x}^{2}}dx+\int\limits_{1}^{2}{\left( {{x}^{2}}-4x+4 \right)\text{ d}x}}=\dfrac{2}{3}.$
Tiếp tuyến d với $\left( P \right)$ tại điểm $M\left( 2;4 \right)$ có phương trình là:
$y={f}'\left( 2 \right)\left( x-2 \right)+4\Leftrightarrow y=4\left( x-2 \right)+4\Leftrightarrow y=4x-4.$
Giao điểm của $d\text{ v }\!\!\grave{\mathrm{a}}\!\!\text{ }Ox$ là $A\left( 1;0 \right)$
Trên đoạn $\left[ 0;1 \right]$ hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số $y={{x}^{2}}$ và trục hoành.
Trên đoạn $\left[ 1;\text{ 2} \right]$ hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số $y={{x}^{2}}$ và tiếp tuyến $d$.
Vậy diện tích của hình phẳng $\left( H \right)$ được xác định là: $S=\int\limits_{0}^{1}{{{x}^{2}}dx+\int\limits_{1}^{2}{\left( {{x}^{2}}-4x+4 \right)\text{ d}x}}=\dfrac{2}{3}.$
Đáp án A.