Cho $\left| 6{{z}_{1}}-i \right|=\left| 6{{z}_{2}}-i...

Cách giải:
Đặt $6{{z}_{1}}={{z}_{1}}'$ có điểm biểu diễn là $M,6{{z}_{2}}={{z}_{2}}'$ có điểm biểu diễn là $N.$
Theo bài ra ta có: $\left| 6{{z}_{1}}-i \right|=\left| 6{{z}_{2}}-i \right|=\left| 2+3i \right|\Rightarrow \left| {{z}_{1}}'-i \right|=\left| {{z}_{2}}'-i \right|=\sqrt{13}.$
$\Rightarrow M,N$ thuộc đường tròn tâm $I\left( 0;1 \right)$ bán kính $R=\sqrt{13}.$
Ta lại có $\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=\dfrac{1}{3}\Leftrightarrow \left| 6{{z}_{1}}-6{{z}_{2}} \right|=2\Leftrightarrow \left| {{z}_{1}}'-{{z}_{2}}' \right|=2\Rightarrow MN=2.$
Gọi $J$ là trung điểm của $MN\Rightarrow J$ là điểm biểu diễn số phức $\dfrac{{{z}_{1}}'+{{z}_{2}}'}{2}.$
Ta có: $I{{J}^{2}}=\dfrac{I{{M}^{2}}+I{{N}^{2}}}{2}-\dfrac{M{{N}^{2}}}{4}=13-\dfrac{{{2}^{2}}}{4}=12.$
$\Rightarrow \left| \dfrac{{{z}_{1}}'+{{z}_{2}}'}{2}-i \right|=2\sqrt{3}\Leftrightarrow \left| 3\left( {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right)-i \right|=2\sqrt{3}$
$\Leftrightarrow \left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}}-\dfrac{1}{3}i \right|=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$