Google
Câu hỏi: Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD.A'B'C'D' cạnh đáy bằng 1, chiều cao bằng x. Tìm x để góc tạo bởi B'D và $\left( B'D'C \right)$ đạt giá trị lớn nhất.
A. $x=1.$
B. $x=0,5.$
C. $x=2.$
D. $x=\sqrt{2}.$
A. $x=1.$
B. $x=0,5.$
C. $x=2.$
D. $x=\sqrt{2}.$
Gọi H là hình chiếu của D lên mặt phẳng $\left( B'D'C \right)$ suy ra: $\sin \left( B'D,\left( B'D'C \right) \right)=\dfrac{DH}{B'D}=\dfrac{DH}{\sqrt{2+{{x}^{2}}}}.$
Mặt khác $DH=d\left( C';\left( B'D'C \right) \right)=\dfrac{x}{\sqrt{2{{x}^{2}}+1}}$ (sử dụng đường cao trong tam giác diện vuông C'B'D'C).
$\sin \left( B'D,\left( B'D'C \right) \right)=\dfrac{DH}{B'D}=\dfrac{DH}{\sqrt{2+{{x}^{2}}}}=\dfrac{x}{\sqrt{\left( {{x}^{2}}+2 \right)\left( 2{{x}^{2}}+1 \right)}}=\sqrt{\dfrac{{{x}^{2}}}{2{{x}^{4}}+5{{x}^{2}}+2}}$.
Góc lớn nhất khi $\sin \left( B'D,\left( B'D'C \right) \right)$ lớn nhất.
Xét hàm số $f\left( t \right)=\dfrac{t}{2{{t}^{2}}+5t+2}\Rightarrow f'\left( t \right)=\dfrac{-2{{t}^{2}}+2}{{{\left( 2{{t}^{2}}+5t+2 \right)}^{2}}}.$
Lập bảng biến thiên, ta thấy $f\left( t \right)$ lớn nhất khi $t=1$ suy ra $x=1.$
Mặt khác $DH=d\left( C';\left( B'D'C \right) \right)=\dfrac{x}{\sqrt{2{{x}^{2}}+1}}$ (sử dụng đường cao trong tam giác diện vuông C'B'D'C).
$\sin \left( B'D,\left( B'D'C \right) \right)=\dfrac{DH}{B'D}=\dfrac{DH}{\sqrt{2+{{x}^{2}}}}=\dfrac{x}{\sqrt{\left( {{x}^{2}}+2 \right)\left( 2{{x}^{2}}+1 \right)}}=\sqrt{\dfrac{{{x}^{2}}}{2{{x}^{4}}+5{{x}^{2}}+2}}$.
Góc lớn nhất khi $\sin \left( B'D,\left( B'D'C \right) \right)$ lớn nhất.
Xét hàm số $f\left( t \right)=\dfrac{t}{2{{t}^{2}}+5t+2}\Rightarrow f'\left( t \right)=\dfrac{-2{{t}^{2}}+2}{{{\left( 2{{t}^{2}}+5t+2 \right)}^{2}}}.$
Lập bảng biến thiên, ta thấy $f\left( t \right)$ lớn nhất khi $t=1$ suy ra $x=1.$
Đáp án A.