Cho lăng trụ tứ giác đều $A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ có $A A^{'} = 1$ ...

The Funny · 25/5/23

Câu hỏi: Cho lăng trụ tứ giác đều

A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}

có

A A^{'} = 1

, tang của góc giữa hai mặt phẳng

(A^{'} B D)

và

(A B B^{'} A^{'})

bằng 2. Tính thể tích của khối lăng trụ

A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}

.
A. 5.
B. 3.
C.

5 \sqrt{5}

.
D.

3 \sqrt{3}

.

Gọi

α

là góc giữa hai mặt phẳng

(A^{'} B D)

và

(A B B^{'} A^{'})

Theo bài ra có

\tan α = 2 \Rightarrow \sin α = \frac{2}{\sqrt{5}}

Giả sử cạnh đáy của lăng trụ là

x (x > 0)

Gọi

I

hình chiếu của

D

trên

A^{'} B

;

O

là tâm của hình vuông

A B C D

.
Ta có:

A^{'} D = \sqrt{x^{2} + 1}; B D = x \sqrt{2}; A^{'} B = \sqrt{x^{2} + 1}; A^{'} O = \frac{\sqrt{x^{2} + 2}}{\sqrt{2}}

Ta có

A^{'} O . B D = D I . A^{'} B \Leftrightarrow D I = \frac{A^{'} O . B D}{A^{'} B} = \frac{\sqrt{x^{2} + 2} . x}{\sqrt{x^{2} + 1}}

Dễ thấy

D A ⊥ (A B B^{'} A^{'}); (A B B^{'} A^{'}) \cap (A^{'} B D) = A^{'} B

.
Ta có

\sin α = \frac{d (D; (A B B^{'} A^{'})}{d (D; A^{'} B)} = \frac{D A}{D I} = \frac{2}{\sqrt{5}}

\Leftrightarrow x . \frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{\sqrt{x^{2} + 2} . x} = \frac{2}{\sqrt{5}} \Leftrightarrow \frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 2} = \frac{4}{5} \Leftrightarrow x = \sqrt{3}

nên

S_{A B C D} = 3 \Rightarrow V_{A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}} = 3.

.

Đáp án B.

Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD.A′B′C′D′ có AA′=1...