Google
Câu hỏi: Cho lăng trụ tứ giác đều $ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'$ có $A{A}'=1$, tang của góc giữa hai mặt phẳng $\left( {A}'BD \right)$ và $\left( AB{B}'{A}' \right)$ bằng 2. Tính thể tích của khối lăng trụ $ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'$.
A. 5.
B. 3.
C. $5\sqrt{5}$.
D. $3\sqrt{3}$.
Gọi $\alpha $ là góc giữa hai mặt phẳng $\left( {A}'BD \right)$ và $\left( AB{B}'{A}' \right)$
Theo bài ra có $\tan \alpha =2\Rightarrow \sin \alpha =\dfrac{2}{\sqrt{5}}$
Giả sử cạnh đáy của lăng trụ là $x \left( x>0 \right)$
Gọi $I$ hình chiếu của $D$ trên ${A}'B$ ; $O$ là tâm của hình vuông $ABCD$.
Ta có: ${A}'D=\sqrt{{{x}^{2}}+1};BD=x\sqrt{2};{A}'B=\sqrt{{{x}^{2}}+1};{A}'O=\dfrac{\sqrt{{{x}^{2}}+2}}{\sqrt{2}}$
Ta có ${A}'O.BD=DI.{A}'B\Leftrightarrow DI=\dfrac{{A}'O.BD}{{A}'B}=\dfrac{\sqrt{{{x}^{2}}+2}.x}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}$
Dễ thấy $DA\bot (AB{B}'{A}');(AB{B}'{A}')\cap ({A}'BD)={A}'B$.
Ta có $\sin \alpha =\dfrac{d(D;(AB{B}'{A}')}{d(D;{A}'B)}=\dfrac{DA}{DI}=\dfrac{2}{\sqrt{5}}$
$\Leftrightarrow x.\dfrac{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}{\sqrt{{{x}^{2}}+2}.x}=\dfrac{2}{\sqrt{5}}\Leftrightarrow \dfrac{{{x}^{2}}+1}{{{x}^{2}}+2}=\dfrac{4}{5}\Leftrightarrow x=\sqrt{3}$ nên ${{S}_{ABCD}}=3\Rightarrow {{V}_{ABCD.A'B'C'D'}}=3.$.
A. 5.
B. 3.
C. $5\sqrt{5}$.
D. $3\sqrt{3}$.
Theo bài ra có $\tan \alpha =2\Rightarrow \sin \alpha =\dfrac{2}{\sqrt{5}}$
Giả sử cạnh đáy của lăng trụ là $x \left( x>0 \right)$
Gọi $I$ hình chiếu của $D$ trên ${A}'B$ ; $O$ là tâm của hình vuông $ABCD$.
Ta có: ${A}'D=\sqrt{{{x}^{2}}+1};BD=x\sqrt{2};{A}'B=\sqrt{{{x}^{2}}+1};{A}'O=\dfrac{\sqrt{{{x}^{2}}+2}}{\sqrt{2}}$
Ta có ${A}'O.BD=DI.{A}'B\Leftrightarrow DI=\dfrac{{A}'O.BD}{{A}'B}=\dfrac{\sqrt{{{x}^{2}}+2}.x}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}$
Dễ thấy $DA\bot (AB{B}'{A}');(AB{B}'{A}')\cap ({A}'BD)={A}'B$.
Ta có $\sin \alpha =\dfrac{d(D;(AB{B}'{A}')}{d(D;{A}'B)}=\dfrac{DA}{DI}=\dfrac{2}{\sqrt{5}}$
$\Leftrightarrow x.\dfrac{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}{\sqrt{{{x}^{2}}+2}.x}=\dfrac{2}{\sqrt{5}}\Leftrightarrow \dfrac{{{x}^{2}}+1}{{{x}^{2}}+2}=\dfrac{4}{5}\Leftrightarrow x=\sqrt{3}$ nên ${{S}_{ABCD}}=3\Rightarrow {{V}_{ABCD.A'B'C'D'}}=3.$.
Đáp án B.