Cho lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng b. Thể...

The Professor · 17/12/21

Câu hỏi: Cho lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng b. Thể tích của khối cầu đi qua các đỉnh của lăng trụ bằng
A.

\frac{1}{18 \sqrt{3}} \sqrt{{(4 a^{2} + b^{2})}^{3}}

B.

\frac{π}{18 \sqrt{3}} \sqrt{{(4 a^{2} + b^{2})}^{3}}

C.

\frac{π}{18 \sqrt{3}} \sqrt{{(4 a^{3} + b^{2})}^{3}}

D.

\frac{π}{18 \sqrt{2}} \sqrt{{(4 a^{2} + b^{2})}^{3}}

Gọi O,

O^{'}

lần lượt là tâm đáy, I là trung điểm của

O{O}'

thì I là tâm mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ và bán kính

R = I A^{'}

.
Ta có:

A^{'} O^{'} = \frac{2}{3} A^{'} M^{'} = \frac{2}{3} . \frac{a \sqrt{3}}{2} = \frac{a \sqrt{3}}{3}; I{O}' = \frac{1}{2} O O^{'} = \frac{b}{2}

.
Do đó

I A^{'} = \sqrt{I {{O}'}^{2} + A^{'} {O^{'}}^{2}} = \sqrt{\frac{b^{2}}{3} + \frac{a^{2}}{3}} = \sqrt{\frac{4 a^{2} + 3 b^{2}}{12}}

Thể tích khối cầu

V = \frac{4}{3} π I A^{2} = \frac{4}{3} π (\sqrt{\frac{4 a^{2} + 3 b^{2}}{12}}) = \frac{4 π}{3.12 . \sqrt{12}} \sqrt{{(4 a^{2} + 3 b^{2})}^{3}} = \frac{π}{18 \sqrt{3}} \sqrt{{(4 a^{2} + 3 b^{2})}^{3}}

.

Đáp án B.