Google
Câu hỏi: Cho lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng b. Thể tích của khối cầu đi qua các đỉnh của lăng trụ bằng
A. $\dfrac{1}{18\sqrt{3}}\sqrt{{{\left( 4{{\text{a}}^{2}}+{{b}^{2}} \right)}^{3}}}$
B. $\dfrac{\pi }{18\sqrt{3}}\sqrt{{{\left( 4{{\text{a}}^{2}}+{{b}^{2}} \right)}^{3}}}$
C. $\dfrac{\pi }{18\sqrt{3}}\sqrt{{{\left( 4{{\text{a}}^{3}}+{{b}^{2}} \right)}^{3}}}$
D. $\dfrac{\pi }{18\sqrt{2}}\sqrt{{{\left( 4{{\text{a}}^{2}}+{{b}^{2}} \right)}^{3}}}$
Gọi O, ${O}'$ lần lượt là tâm đáy, I là trung điểm của $\text{O{O}'}$ thì I là tâm mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ và bán kính $R=I{A}'$.
Ta có: ${A}'{O}'=\dfrac{2}{3}{A}'{M}'=\dfrac{2}{3}.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}=\dfrac{a\sqrt{3}}{3};\text{ I{O}'}=\dfrac{1}{2}O{O}'=\dfrac{b}{2}$.
Do đó $I{A}'=\sqrt{I{{{\text{{O}'}}}^{2}}+{A}'{{{{O}'}}^{2}}}=\sqrt{\dfrac{{{b}^{2}}}{3}+\dfrac{{{a}^{2}}}{3}}=\sqrt{\dfrac{4{{\text{a}}^{2}}+3{{b}^{2}}}{12}}$
Thể tích khối cầu
$V=\dfrac{4}{3}\pi I{{A}^{2}}=\dfrac{4}{3}\pi \left( \sqrt{\dfrac{4{{\text{a}}^{2}}+3{{b}^{2}}}{12}} \right)=\dfrac{4\pi }{3.12.\sqrt{12}}\sqrt{{{\left( 4{{\text{a}}^{2}}+3{{b}^{2}} \right)}^{3}}}=\dfrac{\pi }{18\sqrt{3}}\sqrt{{{\left( 4{{\text{a}}^{2}}+3{{b}^{2}} \right)}^{3}}}$.
A. $\dfrac{1}{18\sqrt{3}}\sqrt{{{\left( 4{{\text{a}}^{2}}+{{b}^{2}} \right)}^{3}}}$
B. $\dfrac{\pi }{18\sqrt{3}}\sqrt{{{\left( 4{{\text{a}}^{2}}+{{b}^{2}} \right)}^{3}}}$
C. $\dfrac{\pi }{18\sqrt{3}}\sqrt{{{\left( 4{{\text{a}}^{3}}+{{b}^{2}} \right)}^{3}}}$
D. $\dfrac{\pi }{18\sqrt{2}}\sqrt{{{\left( 4{{\text{a}}^{2}}+{{b}^{2}} \right)}^{3}}}$
Gọi O, ${O}'$ lần lượt là tâm đáy, I là trung điểm của $\text{O{O}'}$ thì I là tâm mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ và bán kính $R=I{A}'$.
Ta có: ${A}'{O}'=\dfrac{2}{3}{A}'{M}'=\dfrac{2}{3}.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}=\dfrac{a\sqrt{3}}{3};\text{ I{O}'}=\dfrac{1}{2}O{O}'=\dfrac{b}{2}$.
Do đó $I{A}'=\sqrt{I{{{\text{{O}'}}}^{2}}+{A}'{{{{O}'}}^{2}}}=\sqrt{\dfrac{{{b}^{2}}}{3}+\dfrac{{{a}^{2}}}{3}}=\sqrt{\dfrac{4{{\text{a}}^{2}}+3{{b}^{2}}}{12}}$
Thể tích khối cầu
$V=\dfrac{4}{3}\pi I{{A}^{2}}=\dfrac{4}{3}\pi \left( \sqrt{\dfrac{4{{\text{a}}^{2}}+3{{b}^{2}}}{12}} \right)=\dfrac{4\pi }{3.12.\sqrt{12}}\sqrt{{{\left( 4{{\text{a}}^{2}}+3{{b}^{2}} \right)}^{3}}}=\dfrac{\pi }{18\sqrt{3}}\sqrt{{{\left( 4{{\text{a}}^{2}}+3{{b}^{2}} \right)}^{3}}}$.
Đáp án B.