Google
Câu hỏi: Cho lăng trụ tam giác đều $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có độ dài cạnh đáy và cạnh bên bằng $a$. Gọi các điểm $M , N , E$ lần lượt là trung điểm các cạnh $BC , C{C}' , {A}'{C}'$. Mặt phẳng $\left( MNE \right)$ chia khối lăng trụ đã cho thành hai phần có thể tích ${{V}_{1}} , {{V}_{2}} \left( {{V}_{1}} \right.$ là thể tích khối đa diện chứa điểm $\left. A \right)$. Tỷ số $\dfrac{V_1}{V_2}$ bằng
A. $1$.
B. $4$.
C. $3$.
D. $\dfrac{3}{4}$.
Theo định lý Menelaus ta và định lý Talet ta có
$\dfrac{SB}{S{B}'}=\dfrac{SM}{SP}=\dfrac{SR}{SQ}\Rightarrow \dfrac{MP}{{B}'P}=\dfrac{1}{3} ; \dfrac{{A}'Q}{{A}'{B}'}=\dfrac{1}{4} ; \dfrac{P{C}' }{P{B}'}=\dfrac{1}{3} ; \dfrac{PE}{EQ}=2$
$\dfrac{{{V}_{SBMR}}}{{{V}_{S{B}'PQ}}}={{\left( \dfrac{SM}{SP} \right)}^{3}}=\dfrac{1}{27}\Rightarrow $ ${{V}_{S{B}'PQ}}=\dfrac{1}{3}d\left( CS,\left( {A}'{B}'{C}' \right) \right).{{S}_{{B}'PQ}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{3}{2}d\left( B,\left( {A}'{B}'{C}' \right) \right).\dfrac{9}{8}{{S}_{{A}'{B}'{C}'}}=\dfrac{9}{16}V$
Khi đó ${{V}_{SBMR}}=\dfrac{1}{48}V$, dẫn đến
$\dfrac{{{V}_{P.{C}'NE}}}{{{V}_{P.BSQ}}}=\dfrac{P{C}'}{P{B}'}.\dfrac{PN}{PS}.\dfrac{PE}{PQ}=\dfrac{2}{27}\Rightarrow {{V}_{P.{C}'NE}}=\dfrac{V}{24}\Rightarrow {{V}_{2}}={{V}_{S.{B}'PQ}}-{{V}_{S.BMR}}-{{V}_{P.{C}'NE}}=\dfrac{1}{2}V\Rightarrow {{V}_{1}}={{V}_{2}}$
Vậy $\dfrac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=1$.
A. $1$.
B. $4$.
C. $3$.
D. $\dfrac{3}{4}$.
$\dfrac{SB}{S{B}'}=\dfrac{SM}{SP}=\dfrac{SR}{SQ}\Rightarrow \dfrac{MP}{{B}'P}=\dfrac{1}{3} ; \dfrac{{A}'Q}{{A}'{B}'}=\dfrac{1}{4} ; \dfrac{P{C}' }{P{B}'}=\dfrac{1}{3} ; \dfrac{PE}{EQ}=2$
$\dfrac{{{V}_{SBMR}}}{{{V}_{S{B}'PQ}}}={{\left( \dfrac{SM}{SP} \right)}^{3}}=\dfrac{1}{27}\Rightarrow $ ${{V}_{S{B}'PQ}}=\dfrac{1}{3}d\left( CS,\left( {A}'{B}'{C}' \right) \right).{{S}_{{B}'PQ}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{3}{2}d\left( B,\left( {A}'{B}'{C}' \right) \right).\dfrac{9}{8}{{S}_{{A}'{B}'{C}'}}=\dfrac{9}{16}V$
Khi đó ${{V}_{SBMR}}=\dfrac{1}{48}V$, dẫn đến
$\dfrac{{{V}_{P.{C}'NE}}}{{{V}_{P.BSQ}}}=\dfrac{P{C}'}{P{B}'}.\dfrac{PN}{PS}.\dfrac{PE}{PQ}=\dfrac{2}{27}\Rightarrow {{V}_{P.{C}'NE}}=\dfrac{V}{24}\Rightarrow {{V}_{2}}={{V}_{S.{B}'PQ}}-{{V}_{S.BMR}}-{{V}_{P.{C}'NE}}=\dfrac{1}{2}V\Rightarrow {{V}_{1}}={{V}_{2}}$
Vậy $\dfrac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=1$.
Đáp án A.