Cho lăng trụ tam giác đều ABC. A' B' C' có AB= AA' = a. Tính...

Phương pháp:
- Tính đạo hàm của hàm số.
- Giải bất phương trình $y'<0$ và kết luận các khoảng nghịch biến của hàm số.
Cách giải:

Ta có $AC||A'C'$, do đó $AC||\left( A' BC' \right)\supset BC'.$
Suy ra $d\left( BC';AC \right)=d\left( AC;\left( A'BC' \right) \right)=d\left( A;\left( A'BC' \right) \right).~$
Gọi $O=AB'\cap A'B$ ta có: $\dfrac{d\left( A;\left( A'BC' \right) \right)}{d\left( B';\left( A'BC' \right) \right)}~=\dfrac{AO~}{B'O}=1$
$\Rightarrow d\left( A;\left( A'BC' \right) \right)=d\left( B';\left( A'BC' \right) \right).~$
Gọi Mlà trung điểm của $A'C'$ ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& A'C'\bot B'M \\
& A'C'\bot BB' \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow A'C'\bot \left( BB'M \right).~$
Trong $\left( BB'M \right)$ kẻ $B'H\bot BM$ ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& B'H\bot BM \\
& B'H\bot A'C' \\
\end{aligned} \right.~(A'C'\bot \left( BB~' M~ \right))~ $ ⇒ $ B'H\bot \left( A'BC' \right).~$
$\Rightarrow d\left( B';\left( A'BC' \right) \right)=B'H.~$
Tam giác $A'B'C'$ đều cạnh anên $B'M=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.~$
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông $BB'M$ ta có:
$B'H=\dfrac{BB'.B'M}{\sqrt{BB{{'}^{2}}+B'{{M}^{2}}}}=\dfrac{a.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{{{a}^{2}}+\dfrac{3{{a}^{2}}}{4}}}=~\dfrac{a\sqrt{21}}{7}.$
Vậy $d\left( B';\left( A'BC' \right) \right)=\dfrac{a\sqrt{21}}{7}.$