Google
Câu hỏi: Cho lăng trụ tam giác đều $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có $AB=a.$ $M$ là một điểm di động trên đoạn $AB.$ Gọi $H$ là hình chiếu của ${A}'$ trên đường thẳng $CM.$ Tính độ dài đoạn thẳng $BH$ khi tam giác $AHC$ có diện tích lớn nhất.
A. $\dfrac{a\sqrt{3}}{3}.$
B. $\dfrac{a}{2}.$
C. $\dfrac{a\left( \sqrt{3}-1 \right)}{2}.$
D. $a\left( \dfrac{\sqrt{3}}{2}-1 \right).$
Hình vẽ tham khảo
Ta có $A{A}'\bot \left( ABC \right)$ nên $A{A}'\bot CM.$
Mặt khác ${A}'H\bot CM.$ Do đó $CM\bot \left( A{A}'H \right).$
Suy ra $CM\bot AH.$
Vậy $H$ còn là hình chiếu của $A$ trên $CM.$
Ta có ${{S}_{AHC}}=\dfrac{1}{2}AH.HC\le \dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{2}\left( A{{H}^{2}}+H{{C}^{2}} \right)=\dfrac{A{{C}^{2}}}{4}=\dfrac{{{a}^{2}}}{4}.$
Dấu bằng xảy ra khi $AH=HC$, tức là khi $\widehat{ACM}=45{}^\circ .$
Vậy tam giác $AHC$ có diện tích lớn nhất khi $M$ ở vị trí sao cho $\widehat{ACM}=45{}^\circ .$
Khi đó $HC=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$ và $\widehat{HCB}=15{}^\circ .$
Trong tam giác $HBC$ có $B{{H}^{2}}=H{{C}^{2}}+B{{C}^{2}}-2.HC.BC.\cos \widehat{HCB}$
$=\dfrac{{{a}^{2}}}{2}+{{a}^{2}}-2.\dfrac{a\sqrt{2}}{2}.a.\dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}=\dfrac{\left( 4-2\sqrt{3} \right){{a}^{2}}}{4}\Rightarrow BH=\dfrac{a\left( \sqrt{3}-1 \right)}{2}.$
A. $\dfrac{a\sqrt{3}}{3}.$
B. $\dfrac{a}{2}.$
C. $\dfrac{a\left( \sqrt{3}-1 \right)}{2}.$
D. $a\left( \dfrac{\sqrt{3}}{2}-1 \right).$
Hình vẽ tham khảo
Ta có $A{A}'\bot \left( ABC \right)$ nên $A{A}'\bot CM.$
Mặt khác ${A}'H\bot CM.$ Do đó $CM\bot \left( A{A}'H \right).$
Suy ra $CM\bot AH.$
Vậy $H$ còn là hình chiếu của $A$ trên $CM.$
Ta có ${{S}_{AHC}}=\dfrac{1}{2}AH.HC\le \dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{2}\left( A{{H}^{2}}+H{{C}^{2}} \right)=\dfrac{A{{C}^{2}}}{4}=\dfrac{{{a}^{2}}}{4}.$
Dấu bằng xảy ra khi $AH=HC$, tức là khi $\widehat{ACM}=45{}^\circ .$
Vậy tam giác $AHC$ có diện tích lớn nhất khi $M$ ở vị trí sao cho $\widehat{ACM}=45{}^\circ .$
Khi đó $HC=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$ và $\widehat{HCB}=15{}^\circ .$
Trong tam giác $HBC$ có $B{{H}^{2}}=H{{C}^{2}}+B{{C}^{2}}-2.HC.BC.\cos \widehat{HCB}$
$=\dfrac{{{a}^{2}}}{2}+{{a}^{2}}-2.\dfrac{a\sqrt{2}}{2}.a.\dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}=\dfrac{\left( 4-2\sqrt{3} \right){{a}^{2}}}{4}\Rightarrow BH=\dfrac{a\left( \sqrt{3}-1 \right)}{2}.$
Đáp án C.