Google
Câu hỏi: Cho lăng trụ tam giác đều $ABC.{A}'{B}'{C}'$ cạnh đáy bằng a, chiều cao bằng 3a. Mặt phẳng (P) qua ${B}'$ và vuông góc với ${A}'C$ chia lăng trụ thành hai khối. Biết thể tích của hai khối là V1 và V2 với ${{V}_{1}}<{{V}_{2}}.$ Tỉ số $\dfrac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}$ bằng?
A. $\dfrac{1}{47}.$
B. $\dfrac{1}{107}.$
C. $\dfrac{1}{7}.$
D. $\dfrac{1}{108}.$
Gọi H là trung điểm của ${A}'{C}'$, tam giác $\Delta {A}'{B}'{C}'$ đều nên ${B}'H\bot {A}'{C}'.$
Trong $\left( {A}'{C}'CA \right)$, kẻ $HE\bot {A}'C$, $HE\cap {A}'A=I.$
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& {B}'H\bot {A}'{C}' \\
& HI\bot {A}'{C}' \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow {A}'{C}'\bot \left( {B}'HI \right)\Rightarrow \left( P \right)\equiv \left( {B}'HI \right).$
$\Delta {A}'EH\sim \Delta {A}'{C}'C\Rightarrow \dfrac{{A}'E}{{A}'H}=\dfrac{{A}'{C}'}{{A}'C}\Rightarrow {A}'E=\dfrac{{A}'{C}'.{A}'H}{{A}'C}=\dfrac{a\sqrt{10}}{20}.$
$\Delta {A}'IH\sim \Delta {A}'{C}'C\Rightarrow \dfrac{IH}{{A}'H}=\dfrac{{A}'C}{{C}'C}\Rightarrow IH=\dfrac{{A}'C.{A}'H}{{C}'C}=\dfrac{a\sqrt{10}}{6}.$
${{S}_{{B}'HI}}=\dfrac{1}{2}{B}'H.HI=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{30}}{24}\Rightarrow {{V}_{1}}=\dfrac{1}{3}.{{S}_{{B}'HI}}.{A}'E=\dfrac{1}{3}.\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{30}}{24}.\dfrac{a\sqrt{10}}{20}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{144}.$
${{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}={{S}_{ABC}}.A{A}'=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}.3a=\dfrac{3{{a}^{3}}\sqrt{3}}{4}, {{V}_{2}}=\dfrac{107}{144}.{{a}^{3}}\sqrt{3}$ do đó $\dfrac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=\dfrac{1}{107}.$
A. $\dfrac{1}{47}.$
B. $\dfrac{1}{107}.$
C. $\dfrac{1}{7}.$
D. $\dfrac{1}{108}.$
Gọi H là trung điểm của ${A}'{C}'$, tam giác $\Delta {A}'{B}'{C}'$ đều nên ${B}'H\bot {A}'{C}'.$
Trong $\left( {A}'{C}'CA \right)$, kẻ $HE\bot {A}'C$, $HE\cap {A}'A=I.$
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& {B}'H\bot {A}'{C}' \\
& HI\bot {A}'{C}' \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow {A}'{C}'\bot \left( {B}'HI \right)\Rightarrow \left( P \right)\equiv \left( {B}'HI \right).$
$\Delta {A}'EH\sim \Delta {A}'{C}'C\Rightarrow \dfrac{{A}'E}{{A}'H}=\dfrac{{A}'{C}'}{{A}'C}\Rightarrow {A}'E=\dfrac{{A}'{C}'.{A}'H}{{A}'C}=\dfrac{a\sqrt{10}}{20}.$
$\Delta {A}'IH\sim \Delta {A}'{C}'C\Rightarrow \dfrac{IH}{{A}'H}=\dfrac{{A}'C}{{C}'C}\Rightarrow IH=\dfrac{{A}'C.{A}'H}{{C}'C}=\dfrac{a\sqrt{10}}{6}.$
${{S}_{{B}'HI}}=\dfrac{1}{2}{B}'H.HI=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{30}}{24}\Rightarrow {{V}_{1}}=\dfrac{1}{3}.{{S}_{{B}'HI}}.{A}'E=\dfrac{1}{3}.\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{30}}{24}.\dfrac{a\sqrt{10}}{20}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{144}.$
${{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}={{S}_{ABC}}.A{A}'=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}.3a=\dfrac{3{{a}^{3}}\sqrt{3}}{4}, {{V}_{2}}=\dfrac{107}{144}.{{a}^{3}}\sqrt{3}$ do đó $\dfrac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=\dfrac{1}{107}.$
Đáp án B.