Cho lăng trụ tam giác đều $A B C . A^{'} B^{'} C^{'}$ cạnh đáy bằng a...

The Knowledge · 7/1/22

Câu hỏi: Cho lăng trụ tam giác đều

A B C . A^{'} B^{'} C^{'}

cạnh đáy bằng a, chiều cao bằng 3a. Mặt phẳng (P) qua

B^{'}

và vuông góc với

A^{'} C

chia lăng trụ thành hai khối. Biết thể tích của hai khối là V1 và V2 với

V_{1} < V_{2} .

Tỉ số

\frac{V_{1}}{V_{2}}

bằng?
A.

\frac{1}{47} .

B.

\frac{1}{107} .

C.

\frac{1}{7} .

D.

\frac{1}{108} .

Gọi H là trung điểm của

A^{'} C^{'}

, tam giác

Δ A^{'} B^{'} C^{'}

đều nên

B^{'} H ⊥ A^{'} C^{'} .

Trong

(A^{'} C^{'} C A)

, kẻ

H E ⊥ A^{'} C

,

H E \cap A^{'} A = I .

Ta có:

{\begin{aligned} B^{'} H ⊥ A^{'} C^{'} \\ H I ⊥ A^{'} C^{'} \end{aligned} \Rightarrow A^{'} C^{'} ⊥ (B^{'} H I) \Rightarrow (P) \equiv (B^{'} H I) .

Δ A^{'} E H \sim Δ A^{'} C^{'} C \Rightarrow \frac{A^{'} E}{A^{'} H} = \frac{A^{'} C^{'}}{A^{'} C} \Rightarrow A^{'} E = \frac{A^{'} C^{'} . A^{'} H}{A^{'} C} = \frac{a \sqrt{10}}{20} .

Δ A^{'} I H \sim Δ A^{'} C^{'} C \Rightarrow \frac{I H}{A^{'} H} = \frac{A^{'} C}{C^{'} C} \Rightarrow I H = \frac{A^{'} C . A^{'} H}{C^{'} C} = \frac{a \sqrt{10}}{6} .

S_{B^{'} H I} = \frac{1}{2} B^{'} H . H I = \frac{a^{2} \sqrt{30}}{24} \Rightarrow V_{1} = \frac{1}{3} . S_{B^{'} H I} . A^{'} E = \frac{1}{3} . \frac{a^{2} \sqrt{30}}{24} . \frac{a \sqrt{10}}{20} = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{144} .

V_{A B C . A^{'} B^{'} C^{'}} = S_{A B C} . A A^{'} = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} .3 a = \frac{3 a^{3} \sqrt{3}}{4}, V_{2} = \frac{107}{144} . a^{3} \sqrt{3}

do đó

\frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{1}{107} .

Đáp án B.

Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A′B′C′ cạnh đáy bằng a...