Câu hỏi: Cho lăng trụ tam giác đều $ABC.{A}'{B}'{C}'$ cạnh đáy bằng a,a, chiều cao bằng 2a. Mặt phẳng $\left( P \right)$ qua ${B}'$ và vuông góc ${A}'C$ chia lăng trụ thành hai khối. Biết thể tích của hai khối lần lượt là ${{V}_{1}},{{V}_{2}}$ với ${{V}_{1}}<{{V}_{2}}.$ Tỉ số $\dfrac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}$ gần giá trị nào sau đây nhất?
A. 0,045.
B. 0,03.
C. 0,21.
D. 0,16.
Gọi M là trung điểm của ${A}'{C}'.$
Ta có ${B}'M\bot \left( AC{C}'{A}' \right)\Rightarrow {B}'M\bot {A}'C\Rightarrow M\in \left( P \right).$
Kẻ $MN\bot {A}'C\!\!~\!\!\left( N\in A{A}' \right)\Rightarrow N\in \left( P \right).$
Thiết diện cắt bởi mặt phẳng $\left( P \right)$ và lăng trụ là tam giác ${B}'MN.$
Hai tam giác ${A}'{C}'C$ và $N{A}'M$ đồng dạng $\Rightarrow {A}'N=\dfrac{1}{2}{A}'M=\dfrac{a}{4}.$
Thể tích khối tứ diện ${A}'{B}'MN$ là ${{V}_{1}}=\dfrac{1}{3}{A}'N.{{S}_{{A}'{B}'M}}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{96}.$
Thể tích lăng trụ là $V=A{A}'.{{S}_{ABC}}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{2}\Rightarrow \dfrac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=\dfrac{1}{47}.$ Chọn B.
A. 0,045.
B. 0,03.
C. 0,21.
D. 0,16.
Ta có ${B}'M\bot \left( AC{C}'{A}' \right)\Rightarrow {B}'M\bot {A}'C\Rightarrow M\in \left( P \right).$
Kẻ $MN\bot {A}'C\!\!~\!\!\left( N\in A{A}' \right)\Rightarrow N\in \left( P \right).$
Thiết diện cắt bởi mặt phẳng $\left( P \right)$ và lăng trụ là tam giác ${B}'MN.$
Hai tam giác ${A}'{C}'C$ và $N{A}'M$ đồng dạng $\Rightarrow {A}'N=\dfrac{1}{2}{A}'M=\dfrac{a}{4}.$
Thể tích khối tứ diện ${A}'{B}'MN$ là ${{V}_{1}}=\dfrac{1}{3}{A}'N.{{S}_{{A}'{B}'M}}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{96}.$
Thể tích lăng trụ là $V=A{A}'.{{S}_{ABC}}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{2}\Rightarrow \dfrac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=\dfrac{1}{47}.$ Chọn B.
Đáp án B.