Cho lăng trụ tam giác $ABC.A'B'C'$. $M,N$ lần lượt là trung điểm $AB,AC;P$ thuộc đoạn $CC'$ sao cho $\dfrac{CP}{CC'}=x.$ Tìm $x$ để mặt phẳng...

Phương pháp:
- Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi $\left( MNP \right).$
- Xác định 2 khối đa diện bị chia bởi $\left( MNP \right).$
- Tính tỉ số thể tích dựa vào tỉ số chiều cao và diện tích đáy.
Cách giải:

Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi $\left( MNP \right).$
Xét $\left( MNP \right)$ và $\left( BCC'B' \right)$ có $P$ chung, $MN//BC$ ( $MN$ là đường trung bình của tam giác $ABC$ )
$\Rightarrow \left( MNP \right)\cap \left( BCC'B' \right)=PQ//MN//BC\left( Q\in BB' \right).$
$\Rightarrow $ Thiết diện của hình chóp cắt bởi $\left( MNP \right)$ là $MNPQ.$
Tính tỉ số thể tích
Khi đó mặt phẳng $\left( MNP \right)$ chia hình lăng trụ thành 2 khối đa diện $BCMNPQ$ và $MNPQAA'B'C'.$
Đặt ${{V}_{ABC.A'B'C'}}=V,{{V}_{BCMNPQ}}={{V}_{1}},{{V}_{MNPQAA'B'C'}}={{V}_{2}}.$
Theo bài ra ta có $\dfrac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow {{V}_{1}}=\dfrac{1}{3}V.$
Ta có: ${{V}_{1}}={{V}_{P.MNBC}}+{{V}_{P.BMQ}}$
$\dfrac{{{V}_{P.MNBC}}}{V}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{d\left( P;\left( ABC \right) \right)}{d\left( C';\left( ABC \right) \right)}.\dfrac{{{S}_{MNPQ}}}{{{S}_{ABC}}}$
$=\dfrac{1}{3}.\dfrac{PC}{C'C}.\dfrac{{{S}_{ABC}}-{{S}_{AMN}}}{{{S}_{ABC}}}$
$=\dfrac{1}{3}.x.\dfrac{{{S}_{ABC}}-\dfrac{1}{4}{{S}_{ABC}}}{{{S}_{ABC}}}=\dfrac{1}{4}x$
$\dfrac{{{V}_{P.BMQ}}}{V}=\dfrac{{{V}_{C'.BMQ}}}{\dfrac{3}{2}{{V}_{C'.ABB'A'}}}=\dfrac{2}{3}\dfrac{{{S}_{BMQ}}}{{{S}_{ABB'A'}}}=\dfrac{2}{3}.\dfrac{\dfrac{1}{2}.x.{{S}_{ABB'}}}{2{{S}_{ABB'}}}=\dfrac{1}{6}x$
$\Rightarrow \dfrac{{{V}_{1}}}{V}=\dfrac{1}{4}x+\dfrac{1}{6}x=\dfrac{5}{12}x=\dfrac{1}{3}\Leftrightarrow x=\dfrac{4}{5}.$