Google
Câu hỏi: Cho lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh $AB=2a\sqrt{2}$. Biết $AC'=8a$ và tạo với mặt đáy một góc $45{}^\circ $. Thể tích khối đa diện ABCC'B' bằng:
A. $\dfrac{16{{a}^{3}}\sqrt{6}}{3}$.
B. $\dfrac{8{{a}^{3}}\sqrt{6}}{3}$.
C. $\dfrac{16{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}$.
D. $\dfrac{8{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}$.
A. $\dfrac{16{{a}^{3}}\sqrt{6}}{3}$.
B. $\dfrac{8{{a}^{3}}\sqrt{6}}{3}$.
C. $\dfrac{16{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}$.
D. $\dfrac{8{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}$.
Ta có ${{V}_{ABC.A'B'C'}}={{V}_{A.A'B'C'}}+{{V}_{ABCC'B'}}\Leftrightarrow {{V}_{ABCC'B'}}={{V}_{ABC.A'B'C'}}-{{V}_{A.A'B'C'}}$.
Mặt khác ${{V}_{A.A'B'C'}}=\dfrac{1}{3}{{V}_{ABC.A'B'C'}}$ nên ${{V}_{ABCC'B'}}={{V}_{ABC.A'B'C'}}-{{V}_{A.A'B'C'}}=2{{V}_{A.A'B'C'}}$.
Gọi H là hình chiếu của A trên mặt phẳng $\left( A'B'C' \right)$ khi đó góc giữa AC' và mặt phẳng đáy $\left( A'B'C' \right)$ là góc $AC'H=45{}^\circ .$
Xét tam giác vuông AHC' có $AC'=8a$ và $\widehat{AC'H}=45{}^\circ $ nên $AH=4a\sqrt{2}$.
Thể tích khối chóp A.A'B'C' là ${{V}_{A.A'B'C'}}=\dfrac{1}{3}.{{S}_{A'B'C'}}.AH=\dfrac{1}{3}.{{\left( 2a\sqrt{2} \right)}^{2}}.\dfrac{\sqrt{3}}{4}.4a\sqrt{2}=\dfrac{8{{a}^{3}}\sqrt{6}}{3}.$
Vậy thể tích khối đa diện ABCC'B' là ${{V}_{ABCC'B'}}=2{{V}_{A.A'B'C'}}=\dfrac{16{{a}^{3}}\sqrt{6}}{3}.$
Mặt khác ${{V}_{A.A'B'C'}}=\dfrac{1}{3}{{V}_{ABC.A'B'C'}}$ nên ${{V}_{ABCC'B'}}={{V}_{ABC.A'B'C'}}-{{V}_{A.A'B'C'}}=2{{V}_{A.A'B'C'}}$.
Gọi H là hình chiếu của A trên mặt phẳng $\left( A'B'C' \right)$ khi đó góc giữa AC' và mặt phẳng đáy $\left( A'B'C' \right)$ là góc $AC'H=45{}^\circ .$
Xét tam giác vuông AHC' có $AC'=8a$ và $\widehat{AC'H}=45{}^\circ $ nên $AH=4a\sqrt{2}$.
Thể tích khối chóp A.A'B'C' là ${{V}_{A.A'B'C'}}=\dfrac{1}{3}.{{S}_{A'B'C'}}.AH=\dfrac{1}{3}.{{\left( 2a\sqrt{2} \right)}^{2}}.\dfrac{\sqrt{3}}{4}.4a\sqrt{2}=\dfrac{8{{a}^{3}}\sqrt{6}}{3}.$
Vậy thể tích khối đa diện ABCC'B' là ${{V}_{ABCC'B'}}=2{{V}_{A.A'B'C'}}=\dfrac{16{{a}^{3}}\sqrt{6}}{3}.$
Đáp án A.