Cho lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có $B{B}'=a,$ góc giữa đường...

Gọi M, N là trung điểm của AB, AC và trọng tâm của ABC.
Ta có ${B}'G\bot \left( ABC \right)\Rightarrow \widehat{\left( B{B}',\left( ABC \right) \right)}=\widehat{{B}'BG}={{60}^{o}}.$
${{V}_{{A}'.ABC}}=\dfrac{1}{3}.{{S}_{\Delta ABC}}.{B}'G=\dfrac{1}{6}AC.BC.{B}'G$
Xét B'BG vuông tại G, có $\widehat{{B}'BG}={{60}^{o}}\Rightarrow {B}'G=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.$
Đặt $AB=2x.$ Trong ABC vuông tại C có $\widehat{BAC}={{60}^{o}}.$
$\Rightarrow AC=\dfrac{AB}{2}=x,BC=x\sqrt{3}$
Do G là trọng tâm $\Delta ABC\Rightarrow BN=\dfrac{3}{2}BG=\dfrac{3a}{4}.$
Trong BNC vuông tại C, ta có $B{{N}^{2}}=N{{C}^{2}}+B{{C}^{2}}$
$\Leftrightarrow \dfrac{9{{a}^{2}}}{16}=\dfrac{{{x}^{2}}}{4}+3{{x}^{2}}\Leftrightarrow {{x}^{2}}=\dfrac{9{{a}^{2}}}{52}\Rightarrow x=\dfrac{3a}{2\sqrt{13}}\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& AC=\dfrac{3a}{2\sqrt{13}} \\
& BC=\dfrac{3a\sqrt{3}}{2\sqrt{13}} \\
\end{aligned} \right.$
Vậy ${{V}_{{A}'ABC}}=\dfrac{1}{6}.\dfrac{3a}{2\sqrt{13}}.\dfrac{3a\sqrt{3}}{2\sqrt{13}}.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}=\dfrac{9{{a}^{3}}}{208}.$