Cho lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có $B B^{'} = a,$ góc giữa đường...

The Knowledge · 7/1/22

Câu hỏi: Cho lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có

B B^{'} = a,

góc giữa đường thẳng BB' và (ABC) bằng 60°, tam giác ABC vuông tại C và góc

\hat{B A C} = 60^{o} .

Hình chiếu vuông góc của điểm B' lên (ABC) trùng với trọng tâm của ABC . Thể tích của khối tứ diện A'.ABC theo a bằng
A.

\frac{13 a^{3}}{108} .

B.

\frac{7 a^{3}}{106} .

C.

\frac{15 a^{3}}{108} .

D.

\frac{9 a^{3}}{208} .

Gọi M, N là trung điểm của AB, AC và trọng tâm của ABC.
Ta có

B^{'} G ⊥ (A B C) \Rightarrow \hat{(B B^{'}, (A B C))} = \hat{B^{'} B G} = 60^{o} .

V_{A^{'} . A B C} = \frac{1}{3} . S_{Δ A B C} . B^{'} G = \frac{1}{6} A C . B C . B^{'} G

Xét B'BG vuông tại G, có

\hat{B^{'} B G} = 60^{o} \Rightarrow B^{'} G = \frac{a \sqrt{3}}{2} .

Đặt

A B = 2 x .

Trong ABC vuông tại C có

\hat{B A C} = 60^{o} .

\Rightarrow A C = \frac{A B}{2} = x, B C = x \sqrt{3}

Do G là trọng tâm

Δ A B C \Rightarrow B N = \frac{3}{2} B G = \frac{3 a}{4} .

Trong BNC vuông tại C, ta có

B N^{2} = N C^{2} + B C^{2}

\Leftrightarrow \frac{9 a^{2}}{16} = \frac{x^{2}}{4} + 3 x^{2} \Leftrightarrow x^{2} = \frac{9 a^{2}}{52} \Rightarrow x = \frac{3 a}{2 \sqrt{13}} \Rightarrow {\begin{aligned} A C = \frac{3 a}{2 \sqrt{13}} \\ B C = \frac{3 a \sqrt{3}}{2 \sqrt{13}} \end{aligned}

Vậy

V_{A^{'} A B C} = \frac{1}{6} . \frac{3 a}{2 \sqrt{13}} . \frac{3 a \sqrt{3}}{2 \sqrt{13}} . \frac{a \sqrt{3}}{2} = \frac{9 a^{3}}{208} .

Đáp án D.

Cho lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có BB′=a, góc giữa đường...