Google
Câu hỏi: Cho lăng trụ tam giác $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có tất cả các cạnh bằng $a$, góc tạo bởi cạnh bên và mặt phẳng đáy bằng $30{}^\circ $. Hình chiếu $H$ của điểm $A$ trên mặt phẳng $\left( {A}'{B}'{C}' \right)$ thuộc đoạn thẳng ${B}'{C}'$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $A{A}'$ và ${B}'{C}'$ theo $a$.
A. $\dfrac{a}{4}$.
B. $\dfrac{a\sqrt{3}}{4}$.
C. $\dfrac{a}{3}$.
D. $\dfrac{a}{5}$.
Ta có ${A}'H$ là hình chiếu của $A{A}'$ lên mặt phẳng $\left( {A}'{B}'{C}' \right)$ nên $\widehat{A{A}'H}=30{}^\circ $.
Xét tam giác vuông $AH{A}'$ ta có :
$AH=A{A}'\sin 30{}^\circ =\dfrac{a}{2};{A}'H=A{A}'\cos 30{}^\circ =\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$
Mà tam giác ${A}'{B}'{C}'$ đều nên $H$ là trung điểm của ${B}'{C}'$.
Vẽ đường cao $HK$ của tam giác $AH{A}'$.
Ta có : ${B}'{C}'\bot \left( AH{A}' \right)$ nên ${B}'{C}'\bot HK$
Suy ra $d\left( A{A}',{B}'{C}' \right)=HK=\dfrac{AH.{A}'H}{A{A}'}=\dfrac{a\sqrt{3}}{4}$.
A. $\dfrac{a}{4}$.
B. $\dfrac{a\sqrt{3}}{4}$.
C. $\dfrac{a}{3}$.
D. $\dfrac{a}{5}$.
Ta có ${A}'H$ là hình chiếu của $A{A}'$ lên mặt phẳng $\left( {A}'{B}'{C}' \right)$ nên $\widehat{A{A}'H}=30{}^\circ $.
Xét tam giác vuông $AH{A}'$ ta có :
$AH=A{A}'\sin 30{}^\circ =\dfrac{a}{2};{A}'H=A{A}'\cos 30{}^\circ =\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$
Mà tam giác ${A}'{B}'{C}'$ đều nên $H$ là trung điểm của ${B}'{C}'$.
Vẽ đường cao $HK$ của tam giác $AH{A}'$.
Ta có : ${B}'{C}'\bot \left( AH{A}' \right)$ nên ${B}'{C}'\bot HK$
Suy ra $d\left( A{A}',{B}'{C}' \right)=HK=\dfrac{AH.{A}'H}{A{A}'}=\dfrac{a\sqrt{3}}{4}$.
Đáp án B.