Cho lăng trụ tam giác $A B C . A^{'} B^{'} C^{'}$ có $B B^{'} = a$ , góc giữa...

The Knowledge · 7/1/22

Câu hỏi: Cho lăng trụ tam giác

A B C . A^{'} B^{'} C^{'}

có

B B^{'} = a

, góc giữa đường thẳng

B B^{'}

và mặt phẳng (ABC) bằng

60^{\circ}

, tam giác ABC vuông tại C và

\hat{B A C} = 60^{\circ}

. Hình chiếu vuông góc của điểm

B^{'}

lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm G của tam giác ABC. Thể tích của khối tứ diện

A^{'} . A B C

tính theo a bằng

A.

\frac{9 a^{3}}{416}

B.

\frac{13 a^{3}}{108}

C.

\frac{9 a^{3}}{208}

D.

\frac{13 a^{3}}{416}

Ta có:

V_{A^{'} . A B C} = V_{B^{'} . A B C} = \frac{1}{3} B^{'} G . S_{A B C}

(*).
Ta có:

{\begin{aligned} B^{'} G = B B^{'} \sin 60^{\circ} = \frac{a \sqrt{3}}{2} (1) \\ B G = B B^{'} \cos 60^{\circ} = \frac{a}{2} \Rightarrow B M = \frac{3}{2} B G = \frac{3 a}{4} \end{aligned}

.
Đặt

B C = x \Rightarrow A C = B C . \cot 60^{\circ} = \frac{x}{\sqrt{3}} \Rightarrow M C = \frac{x}{2 \sqrt{3}}

.
Ta có:

B M^{2} = B C^{2} + M C^{2} \Leftrightarrow \frac{9 a^{2}}{16} = x^{2} + \frac{x^{2}}{12} \Leftrightarrow x = \frac{3 a \sqrt{39}}{26}

.
Hay

B C = \frac{3 a \sqrt{39}}{26}; A C = \frac{3 a \sqrt{13}}{26} \Rightarrow S_{A B C} = \frac{1}{2} A C . B C = \frac{1}{2} . \frac{3 a \sqrt{39}}{26} . \frac{3 a \sqrt{13}}{26} = \frac{9 a^{2} \sqrt{3}}{104}

(2).
Thay (1), (2) vào (*) ta được:

V_{A^{'} . A B C} = \frac{1}{3} . \frac{a \sqrt{3}}{2} . \frac{9 a^{2} \sqrt{3}}{104} = \frac{9 a^{3}}{208}

.

Đáp án C.

Cho lăng trụ tam giác ABC.A′B′C′ có BB′=a, góc giữa...