Google
Câu hỏi: Cho lăng trụ tam giác $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có $B{B}'=a$, góc giữa đường thẳng $B{B}'$ và mặt phẳng (ABC) bằng $60{}^\circ $, tam giác ABC vuông tại C và $\widehat{BAC}=60{}^\circ $. Hình chiếu vuông góc của điểm ${B}'$ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm G của tam giác ABC. Thể tích của khối tứ diện ${A}'.ABC$ tính theo a bằng
A. $\dfrac{9{{\text{a}}^{3}}}{416}$
B. $\dfrac{13{{\text{a}}^{3}}}{108}$
C. $\dfrac{9{{\text{a}}^{3}}}{208}$
D. $\dfrac{13{{\text{a}}^{3}}}{416}$
Ta có: ${{V}_{{A}'.ABC}}={{V}_{{B}'.ABC}}=\dfrac{1}{3}{B}'G.{{S}_{ABC}}$ (*).
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& {B}'G=B{B}'\sin 60{}^\circ =\dfrac{a\sqrt{3}}{2}(1) \\
& BG=B{B}'\cos 60{}^\circ =\dfrac{a}{2}\Rightarrow BM=\dfrac{3}{2}BG=\dfrac{3a}{4} \\
\end{aligned} \right.$.
Đặt $BC=x\Rightarrow AC=BC.\cot 60{}^\circ =\dfrac{x}{\sqrt{3}}\Rightarrow MC=\dfrac{x}{2\sqrt{3}}$.
Ta có: $B{{M}^{2}}=B{{C}^{2}}+M{{C}^{2}}\Leftrightarrow \dfrac{9{{\text{a}}^{2}}}{16}={{x}^{2}}+\dfrac{{{x}^{2}}}{12}\Leftrightarrow x=\dfrac{3a\sqrt{39}}{26}$.
Hay $BC=\dfrac{3a\sqrt{39}}{26};AC=\dfrac{3\text{a}\sqrt{13}}{26}\Rightarrow {{S}_{ABC}}=\dfrac{1}{2}AC.BC=\dfrac{1}{2}.\dfrac{3a\sqrt{39}}{26}.\dfrac{3\text{a}\sqrt{13}}{26}=\dfrac{9{{\text{a}}^{2}}\sqrt{3}}{104}$ (2).
Thay (1), (2) vào (*) ta được: ${{V}_{{A}'.ABC}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.\dfrac{9{{\text{a}}^{2}}\sqrt{3}}{104}=\dfrac{9{{a}^{3}}}{208}$.
A. $\dfrac{9{{\text{a}}^{3}}}{416}$
B. $\dfrac{13{{\text{a}}^{3}}}{108}$
C. $\dfrac{9{{\text{a}}^{3}}}{208}$
D. $\dfrac{13{{\text{a}}^{3}}}{416}$
Ta có: ${{V}_{{A}'.ABC}}={{V}_{{B}'.ABC}}=\dfrac{1}{3}{B}'G.{{S}_{ABC}}$ (*).
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& {B}'G=B{B}'\sin 60{}^\circ =\dfrac{a\sqrt{3}}{2}(1) \\
& BG=B{B}'\cos 60{}^\circ =\dfrac{a}{2}\Rightarrow BM=\dfrac{3}{2}BG=\dfrac{3a}{4} \\
\end{aligned} \right.$.
Đặt $BC=x\Rightarrow AC=BC.\cot 60{}^\circ =\dfrac{x}{\sqrt{3}}\Rightarrow MC=\dfrac{x}{2\sqrt{3}}$.
Ta có: $B{{M}^{2}}=B{{C}^{2}}+M{{C}^{2}}\Leftrightarrow \dfrac{9{{\text{a}}^{2}}}{16}={{x}^{2}}+\dfrac{{{x}^{2}}}{12}\Leftrightarrow x=\dfrac{3a\sqrt{39}}{26}$.
Hay $BC=\dfrac{3a\sqrt{39}}{26};AC=\dfrac{3\text{a}\sqrt{13}}{26}\Rightarrow {{S}_{ABC}}=\dfrac{1}{2}AC.BC=\dfrac{1}{2}.\dfrac{3a\sqrt{39}}{26}.\dfrac{3\text{a}\sqrt{13}}{26}=\dfrac{9{{\text{a}}^{2}}\sqrt{3}}{104}$ (2).
Thay (1), (2) vào (*) ta được: ${{V}_{{A}'.ABC}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.\dfrac{9{{\text{a}}^{2}}\sqrt{3}}{104}=\dfrac{9{{a}^{3}}}{208}$.
Đáp án C.