Google
Câu hỏi: Cho lăng trụ đứng tam giác $ABC.A'B'C'$ có đáy là một tam giác vuông cân tại $B,AB=BC=a,AA'=a\sqrt{2},\ M$ là trung điểm $BC$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $AM$ và $B'C$.
A. $\dfrac{a\sqrt{7}}{7}$
B. $\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$
C. $\dfrac{2a}{\sqrt{5}}$
D. $a\sqrt{3}$
+) Gọi $E$ là trung điểm của $BB'$.
Khi đó: $EM//B'C\Rightarrow B'C//\left( AME \right)$.
Ta có: $d\left( B'C,AM \right)=d\left( B'C,\left( AME \right) \right)=d\left( C,\left( AME \right) \right)=d\left( B,\left( AME \right) \right)$.
+) Xét khối chóp $B.AME$ có các cạnh $BE,AB,BM$ đôi một vuông góc nên $\dfrac{1}{{{d}^{2}}\left( B,\left( AME \right) \right)}=\dfrac{1}{A{{B}^{2}}}+\dfrac{1}{M{{B}^{2}}}+\dfrac{1}{E{{B}^{2}}}=\dfrac{7}{{{a}^{2}}}$.
$\Rightarrow d\left( B,\left( AME \right) \right)=\dfrac{a\sqrt{7}}{7}$.
Vậy $d\left( B'C,AM \right)=\dfrac{a\sqrt{7}}{7}$.
A. $\dfrac{a\sqrt{7}}{7}$
B. $\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$
C. $\dfrac{2a}{\sqrt{5}}$
D. $a\sqrt{3}$
+) Gọi $E$ là trung điểm của $BB'$.
Khi đó: $EM//B'C\Rightarrow B'C//\left( AME \right)$.
Ta có: $d\left( B'C,AM \right)=d\left( B'C,\left( AME \right) \right)=d\left( C,\left( AME \right) \right)=d\left( B,\left( AME \right) \right)$.
+) Xét khối chóp $B.AME$ có các cạnh $BE,AB,BM$ đôi một vuông góc nên $\dfrac{1}{{{d}^{2}}\left( B,\left( AME \right) \right)}=\dfrac{1}{A{{B}^{2}}}+\dfrac{1}{M{{B}^{2}}}+\dfrac{1}{E{{B}^{2}}}=\dfrac{7}{{{a}^{2}}}$.
$\Rightarrow d\left( B,\left( AME \right) \right)=\dfrac{a\sqrt{7}}{7}$.
Vậy $d\left( B'C,AM \right)=\dfrac{a\sqrt{7}}{7}$.
Đáp án A.