Google
Câu hỏi: Cho lăng trụ đứng tam giác $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có đáy là một tam giác vuông cân tại $B$ , $AB=BC=a$, $A{A}'=a\sqrt{2}$, $M$ là trung điểm $BC$ . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $AM$ và ${B}'C$.
A. $\dfrac{a}{\sqrt{7}}$.
B. $\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
C. $\dfrac{2a}{\sqrt{5}}$.
D. $a\sqrt{3}$.
Gọi $E$ là trung điểm của $B{B}'$. Khi đó: $EM\ \text{//}\ {B}'C$ $\Rightarrow {B}'C\ \text{//}\ (AME)$
Ta có: $d\left( AM,{B}'C \right)=d\left( {B}'C,\left( AME \right) \right)=d\left( C,\left( AME \right) \right)=d\left( B,\left( AME \right) \right)$
Xét khối chóp $BAME$ có các cạnh $BE$, $AB$, $BM$ đôi một vuông góc với nhau nên
$\dfrac{1}{{{d}^{2}}\left( B,\left( AME \right) \right)}=\dfrac{1}{A{{B}^{2}}}+\dfrac{1}{M{{B}^{2}}}+\dfrac{1}{E{{B}^{2}}}$ $\Leftrightarrow \dfrac{1}{{{d}^{2}}\left( B,\left( AME \right) \right)}=\dfrac{7}{{{a}^{2}}}$ $\Leftrightarrow {{d}^{2}}\left( B,\left( AME \right) \right)=\dfrac{{{a}^{2}}}{7}$
$\Leftrightarrow d\left( B,\left( AME \right) \right)=\dfrac{a}{\sqrt{7}}$.
A. $\dfrac{a}{\sqrt{7}}$.
B. $\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
C. $\dfrac{2a}{\sqrt{5}}$.
D. $a\sqrt{3}$.
Gọi $E$ là trung điểm của $B{B}'$. Khi đó: $EM\ \text{//}\ {B}'C$ $\Rightarrow {B}'C\ \text{//}\ (AME)$
Ta có: $d\left( AM,{B}'C \right)=d\left( {B}'C,\left( AME \right) \right)=d\left( C,\left( AME \right) \right)=d\left( B,\left( AME \right) \right)$
Xét khối chóp $BAME$ có các cạnh $BE$, $AB$, $BM$ đôi một vuông góc với nhau nên
$\dfrac{1}{{{d}^{2}}\left( B,\left( AME \right) \right)}=\dfrac{1}{A{{B}^{2}}}+\dfrac{1}{M{{B}^{2}}}+\dfrac{1}{E{{B}^{2}}}$ $\Leftrightarrow \dfrac{1}{{{d}^{2}}\left( B,\left( AME \right) \right)}=\dfrac{7}{{{a}^{2}}}$ $\Leftrightarrow {{d}^{2}}\left( B,\left( AME \right) \right)=\dfrac{{{a}^{2}}}{7}$
$\Leftrightarrow d\left( B,\left( AME \right) \right)=\dfrac{a}{\sqrt{7}}$.
Đáp án A.