Google
Câu hỏi: Cho lăng trụ đứng tam giác $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có đáy là một tam giác vuông cân tại $B$, $AB=A{A}'=2a,$ $M$ là trung điểm $BC$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng $AM$ và ${B}'C$ bằng
A. $\dfrac{a}{2}$.
B. $\dfrac{2a}{3}$.
C. $\dfrac{a\sqrt{7}}{7}$.
D. $a\sqrt{3}$.
Gọi $N$ là trung điểm $B{B}'$ $\Rightarrow MN//{B}'C \Rightarrow {B}'C//\left( AMN \right) $.
Khi đó $d\left( AM,{B}'C \right)=d\left( {B}'C,\left( AMN \right) \right)=d\left( C,\left( AMN \right) \right)$.
Ta có $BC\cap \left( AMN \right)=M$ và $MB=MC$ nên $d\left( C,\left( ABM \right) \right)=d\left( B,\left( ABM \right) \right)$.
Gọi $h$ là khoảng cách từ $B$ đến mặt phẳng $\left( ABM \right)$. Tứ diện $BAMN$ có $BA, BM, BN$ đôi một vuông góc nên: $\dfrac{1}{{{h}^{2}}}=\dfrac{1}{B{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{B{{A}^{2}}}+\dfrac{1}{B{{M}^{2}}}+\dfrac{1}{B{{N}^{2}}}$
$AB=2a=BC$.
$BN=\dfrac{1}{2}B{B}'=\dfrac{1}{2}A{A}'=\dfrac{2a}{2}=a$.
$BM=\dfrac{1}{2}BC=a$.
Suy ra $\dfrac{1}{{{h}^{2}}}=\dfrac{1}{4{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{{{a}^{2}}}=\dfrac{9}{4{{a}^{2}}}\Rightarrow {{h}^{2}}=\dfrac{4{{a}^{2}}}{9}\Rightarrow h=\dfrac{2a}{3}$.
A. $\dfrac{a}{2}$.
B. $\dfrac{2a}{3}$.
C. $\dfrac{a\sqrt{7}}{7}$.
D. $a\sqrt{3}$.
Gọi $N$ là trung điểm $B{B}'$ $\Rightarrow MN//{B}'C \Rightarrow {B}'C//\left( AMN \right) $.
Khi đó $d\left( AM,{B}'C \right)=d\left( {B}'C,\left( AMN \right) \right)=d\left( C,\left( AMN \right) \right)$.
Ta có $BC\cap \left( AMN \right)=M$ và $MB=MC$ nên $d\left( C,\left( ABM \right) \right)=d\left( B,\left( ABM \right) \right)$.
Gọi $h$ là khoảng cách từ $B$ đến mặt phẳng $\left( ABM \right)$. Tứ diện $BAMN$ có $BA, BM, BN$ đôi một vuông góc nên: $\dfrac{1}{{{h}^{2}}}=\dfrac{1}{B{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{B{{A}^{2}}}+\dfrac{1}{B{{M}^{2}}}+\dfrac{1}{B{{N}^{2}}}$
$AB=2a=BC$.
$BN=\dfrac{1}{2}B{B}'=\dfrac{1}{2}A{A}'=\dfrac{2a}{2}=a$.
$BM=\dfrac{1}{2}BC=a$.
Suy ra $\dfrac{1}{{{h}^{2}}}=\dfrac{1}{4{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{{{a}^{2}}}=\dfrac{9}{4{{a}^{2}}}\Rightarrow {{h}^{2}}=\dfrac{4{{a}^{2}}}{9}\Rightarrow h=\dfrac{2a}{3}$.
Đáp án B.