Google
Câu hỏi: Cho lăng trụ đứng $ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'$ có thể tích bằng 12. Đáy của lăng trụ là hình bình hành và có diện tích bằng 4. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của cạnh ${A}'A,DC$. Biết hai mặt phẳng $\left( {A}'BN \right)$ tạo với mặt đáy một góc $60{}^\circ $. Khoảng cách giữa hai đường thẳng DM và $N{A}'$ bằng
A. $\dfrac{3}{4}.$
B. $\dfrac{2}{3}.$
C. $\dfrac{\sqrt{3}}{4}.$
D. $\dfrac{\sqrt{2}}{4}.$
Gọi E là trung điểm của cạnh AB, ta có
$\left\{ \begin{aligned}
& ME\parallel {A}'B \\
& DE\parallel NB \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left( MDE \right)\parallel \left( {A}'NB \right).$
Trong mặt phẳng đáy, kẻ $AI\bot DE$ tại I,
kẻ $AK\bot MI$ tại K
thì $AK=d\left( A;\left( MDE \right) \right).$
Do đó$\left\{ \begin{aligned}
& \left( \widehat{\left( {A}'NB \right),\left( ABCD \right)} \right)=\left( \widehat{\left( MDE \right),\left( ABCD \right)} \right)=\widehat{AIM}=60{}^\circ \\
& d\left( {A}'N;DM \right)=d\left( B;\left( MDE \right) \right)=d\left( A;\left( MDE \right) \right)=AK \\
\end{aligned} \right..$
Lại có ${{V}_{ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'}}={A}'A.{{S}_{ABCD}}\Rightarrow {A}'A=3\Rightarrow MA=\dfrac{3}{2}$ và $AI=\dfrac{AM}{\tan 60{}^\circ }=\dfrac{\sqrt{3}}{2}.$
Suy ra $AK=\dfrac{AM.AI}{\sqrt{A{{M}^{2}}+A{{I}^{2}}}}=\dfrac{\dfrac{3}{2}.\dfrac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{\dfrac{9}{4}+\dfrac{3}{4}}}=\dfrac{3}{4}$. Vậy $d\left( {A}'N;DM \right)=AK=\dfrac{3}{4}$
A. $\dfrac{3}{4}.$
B. $\dfrac{2}{3}.$
C. $\dfrac{\sqrt{3}}{4}.$
D. $\dfrac{\sqrt{2}}{4}.$
Gọi E là trung điểm của cạnh AB, ta có
$\left\{ \begin{aligned}
& ME\parallel {A}'B \\
& DE\parallel NB \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left( MDE \right)\parallel \left( {A}'NB \right).$
Trong mặt phẳng đáy, kẻ $AI\bot DE$ tại I,
kẻ $AK\bot MI$ tại K
thì $AK=d\left( A;\left( MDE \right) \right).$
Do đó$\left\{ \begin{aligned}
& \left( \widehat{\left( {A}'NB \right),\left( ABCD \right)} \right)=\left( \widehat{\left( MDE \right),\left( ABCD \right)} \right)=\widehat{AIM}=60{}^\circ \\
& d\left( {A}'N;DM \right)=d\left( B;\left( MDE \right) \right)=d\left( A;\left( MDE \right) \right)=AK \\
\end{aligned} \right..$
Lại có ${{V}_{ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'}}={A}'A.{{S}_{ABCD}}\Rightarrow {A}'A=3\Rightarrow MA=\dfrac{3}{2}$ và $AI=\dfrac{AM}{\tan 60{}^\circ }=\dfrac{\sqrt{3}}{2}.$
Suy ra $AK=\dfrac{AM.AI}{\sqrt{A{{M}^{2}}+A{{I}^{2}}}}=\dfrac{\dfrac{3}{2}.\dfrac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{\dfrac{9}{4}+\dfrac{3}{4}}}=\dfrac{3}{4}$. Vậy $d\left( {A}'N;DM \right)=AK=\dfrac{3}{4}$
Đáp án A.