Google
Câu hỏi: Cho lăng trụ đứng ${ABC.A'B'C'}$ có đáy là tam giác ${\Delta ABC}$ vuông cân tại ${A,BC=2a}$. Góc giữa ${mp\left( {AB'C} \right)}$ và ${mp\left( {BB'C} \right)}$ bằng ${{{60}^{0}}}$. Tính thể tích khối lăng trụ ${ABC.A'B'C'}$.
A. ${2{a^3}}$.
B. ${{a^3}\sqrt 2 }$.
C. ${{a^3}\sqrt 3 }$.
D. ${{a^3}\sqrt 6 }$.
Gọi H là trung điểm BC = H là hình chiếu của A
Gọi h là chiều cao lăng trụ. Khi đó :
$\left\{ \begin{aligned}
& AB=AC=a\sqrt{2} \\
& AB'=\sqrt{A{{B}^{2}}+B'{{B}^{2}}}=\sqrt{2{{a}^{2}}+{{h}^{2}}}\Rightarrow B'C'=A{{B}^{2}}+B'{{A}^{2}} \\
& B'C=\sqrt{B{{C}^{2}}+B'{{B}^{2}}}=\sqrt{4{{a}^{2}}+{{h}^{2}}} \\
\end{aligned} \right.$
AC vuông tại $A\Rightarrow {{S}_{\Delta AB'C}}=\dfrac{1}{2}a\sqrt{2}.\sqrt{2{{a}^{2}}+{{h}^{2}}}$ mà ${{S}_{\Delta HB'C}}=\dfrac{1}{2}a.h$
$\Rightarrow {{S}_{\Delta AB'C}}.\cos {{60}^{0}}={{S}_{\Delta }}_{HB'C}=\dfrac{1}{2}a\sqrt{2}.\sqrt{2{{a}^{2}}+{{h}^{2}}}.\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}a.h$
$\Leftrightarrow \sqrt{2{{a}^{2}}+h}=\sqrt{2}h\Rightarrow h=a\sqrt{2}$
$\Rightarrow V=\dfrac{1}{2}{{\left( a\sqrt{2} \right)}^{2}}.a\sqrt{2}={{a}^{3}}\sqrt{2}$
A. ${2{a^3}}$.
B. ${{a^3}\sqrt 2 }$.
C. ${{a^3}\sqrt 3 }$.
D. ${{a^3}\sqrt 6 }$.
Gọi H là trung điểm BC = H là hình chiếu của A
Gọi h là chiều cao lăng trụ. Khi đó :
$\left\{ \begin{aligned}
& AB=AC=a\sqrt{2} \\
& AB'=\sqrt{A{{B}^{2}}+B'{{B}^{2}}}=\sqrt{2{{a}^{2}}+{{h}^{2}}}\Rightarrow B'C'=A{{B}^{2}}+B'{{A}^{2}} \\
& B'C=\sqrt{B{{C}^{2}}+B'{{B}^{2}}}=\sqrt{4{{a}^{2}}+{{h}^{2}}} \\
\end{aligned} \right.$
AC vuông tại $A\Rightarrow {{S}_{\Delta AB'C}}=\dfrac{1}{2}a\sqrt{2}.\sqrt{2{{a}^{2}}+{{h}^{2}}}$ mà ${{S}_{\Delta HB'C}}=\dfrac{1}{2}a.h$
$\Rightarrow {{S}_{\Delta AB'C}}.\cos {{60}^{0}}={{S}_{\Delta }}_{HB'C}=\dfrac{1}{2}a\sqrt{2}.\sqrt{2{{a}^{2}}+{{h}^{2}}}.\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}a.h$
$\Leftrightarrow \sqrt{2{{a}^{2}}+h}=\sqrt{2}h\Rightarrow h=a\sqrt{2}$
$\Rightarrow V=\dfrac{1}{2}{{\left( a\sqrt{2} \right)}^{2}}.a\sqrt{2}={{a}^{3}}\sqrt{2}$
Đáp án B.