Google
Câu hỏi: Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác cân với $AB=AC=a$ và góc $\widehat{BAC}=120{}^\circ $, cạnh bên $BB'=a$. Gọi I là trung điểm CC'. Côsin góc giữa hai mặt phẳng $\left( ABC \right)$ và $\left( AB'I \right)$ là:
A. $\dfrac{\sqrt{30}}{10}.$
B. $\dfrac{\sqrt{30}}{3}.$
C. $\dfrac{\sqrt{3}}{10}.$
D. $\dfrac{\sqrt{10}}{3}.$
$\begin{aligned}
& {{S}_{\Delta ABC}}=\cos \alpha .{{S}_{\Delta AB'I}}\Rightarrow \cos \alpha =\dfrac{{{S}_{\Delta ABC}}}{{{S}_{\Delta AB'I}}}. \\
& {{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{1}{2}.AB.AC.\sin 120{}^\circ =\dfrac{\sqrt{3}}{4}{{a}^{2}}. \\
\end{aligned}$
AB' là đường chéo hình vuông $A'B'BA\Rightarrow A'B=a\sqrt{2}$.
$\begin{aligned}
& AI=\sqrt{A{{C}^{2}}+I{{C}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}+{{\left( \dfrac{a}{2} \right)}^{2}}}=\dfrac{\sqrt{5}}{2}a \\
& B'I=\sqrt{C'{{I}^{2}}+B'C{{'}^{2}}}=\sqrt{C'{{I}^{2}}+B{{C}^{2}}}=\sqrt{C'I{{'}^{2}}+A{{C}^{2}}+A{{B}^{2}}-2AB.AC.\cos 120{}^\circ } \\
& \ \ \ \ \ \ =\sqrt{{{\left( \dfrac{a}{2} \right)}^{2}}+{{a}^{2}}+{{a}^{2}}-2\left( -\dfrac{1}{2} \right).a.a}=\dfrac{\sqrt{13}}{2}a \\
\end{aligned}$
Theo định lý Pi-ta-go đảo ta thấy $\Delta AB'I$ vuông tại $A\Rightarrow {{S}_{\Delta AB'I}}=\dfrac{1}{2}.AI.AB'=\dfrac{1}{2}a\sqrt{2}.a\dfrac{\sqrt{5}}{2}=\dfrac{\sqrt{10}{{a}^{2}}}{4}$.
Vậy $\cos \alpha =\dfrac{{{S}_{\Delta ABC}}}{{{S}_{\Delta AB'I}}}=\dfrac{\dfrac{\sqrt{3}{{a}^{2}}}{4}}{\dfrac{\sqrt{10}{{a}^{2}}}{4}}=\dfrac{\sqrt{30}}{10}.$
A. $\dfrac{\sqrt{30}}{10}.$
B. $\dfrac{\sqrt{30}}{3}.$
C. $\dfrac{\sqrt{3}}{10}.$
D. $\dfrac{\sqrt{10}}{3}.$
$\begin{aligned}
& {{S}_{\Delta ABC}}=\cos \alpha .{{S}_{\Delta AB'I}}\Rightarrow \cos \alpha =\dfrac{{{S}_{\Delta ABC}}}{{{S}_{\Delta AB'I}}}. \\
& {{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{1}{2}.AB.AC.\sin 120{}^\circ =\dfrac{\sqrt{3}}{4}{{a}^{2}}. \\
\end{aligned}$
AB' là đường chéo hình vuông $A'B'BA\Rightarrow A'B=a\sqrt{2}$.
$\begin{aligned}
& AI=\sqrt{A{{C}^{2}}+I{{C}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}+{{\left( \dfrac{a}{2} \right)}^{2}}}=\dfrac{\sqrt{5}}{2}a \\
& B'I=\sqrt{C'{{I}^{2}}+B'C{{'}^{2}}}=\sqrt{C'{{I}^{2}}+B{{C}^{2}}}=\sqrt{C'I{{'}^{2}}+A{{C}^{2}}+A{{B}^{2}}-2AB.AC.\cos 120{}^\circ } \\
& \ \ \ \ \ \ =\sqrt{{{\left( \dfrac{a}{2} \right)}^{2}}+{{a}^{2}}+{{a}^{2}}-2\left( -\dfrac{1}{2} \right).a.a}=\dfrac{\sqrt{13}}{2}a \\
\end{aligned}$
Theo định lý Pi-ta-go đảo ta thấy $\Delta AB'I$ vuông tại $A\Rightarrow {{S}_{\Delta AB'I}}=\dfrac{1}{2}.AI.AB'=\dfrac{1}{2}a\sqrt{2}.a\dfrac{\sqrt{5}}{2}=\dfrac{\sqrt{10}{{a}^{2}}}{4}$.
Vậy $\cos \alpha =\dfrac{{{S}_{\Delta ABC}}}{{{S}_{\Delta AB'I}}}=\dfrac{\dfrac{\sqrt{3}{{a}^{2}}}{4}}{\dfrac{\sqrt{10}{{a}^{2}}}{4}}=\dfrac{\sqrt{30}}{10}.$
Đáp án A.