Google
Câu hỏi: Cho lăng trụ đứng $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có đáy là tam giác vuông cân đỉnh $A$, mặt bên $BC{C}'{B}'$ là hình vuông, khoảng cách giữa $A{B}'$ và $C{C}'$ bằng $a$. Tính thể tích khối trụ $ABC.{A}'{B}'{C}'$.
A. ${{a}^{3}}$.
B. $\dfrac{\sqrt{2}{{a}^{3}}}{2}$.
C. $\dfrac{\sqrt{2}{{a}^{3}}}{3}$.
D. $\sqrt{2}{{a}^{3}}$.
Vì $ABC.{A}'{B}'{C}'$ là hình lăng trụ đứng và có đáy là tam giác vuông cân tại $A$ nên
$\left\{ \begin{aligned}
& B{B}'\bot {C}'{A}' \\
& {C}'{A}'\bot {A}'{B}' \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow {C}'{A}'\bot \left( AB{B}'{A}' \right)$
Mặt khác $C{C}'\bot \left( AB{B}'{A}' \right)$ nên ${C}'{A}'$ là khoảng cách giữa $A{B}'$ và $C{C}'$.
Do đó ${C}'{A}'={A}'{B}'=a$. Suy ra ${B}'{C}'=a\sqrt{2}$.
Lại do $BC{C}'{B}'$ là hình vuông nên chiều cao của lăng trụ $B{B}'=a\sqrt{2}$.
${{S}_{\Delta {A}'{B}'{C}'}}=\dfrac{1}{2}{A}'{B}'.{A}'{C}'=\dfrac{{{a}^{2}}}{2}\Rightarrow {{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}={{S}_{\Delta {A}'{B}'{C}'}}.B{B}'=\dfrac{\sqrt{2}{{a}^{3}}}{2}$.
A. ${{a}^{3}}$.
B. $\dfrac{\sqrt{2}{{a}^{3}}}{2}$.
C. $\dfrac{\sqrt{2}{{a}^{3}}}{3}$.
D. $\sqrt{2}{{a}^{3}}$.
Vì $ABC.{A}'{B}'{C}'$ là hình lăng trụ đứng và có đáy là tam giác vuông cân tại $A$ nên
$\left\{ \begin{aligned}
& B{B}'\bot {C}'{A}' \\
& {C}'{A}'\bot {A}'{B}' \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow {C}'{A}'\bot \left( AB{B}'{A}' \right)$
Mặt khác $C{C}'\bot \left( AB{B}'{A}' \right)$ nên ${C}'{A}'$ là khoảng cách giữa $A{B}'$ và $C{C}'$.
Do đó ${C}'{A}'={A}'{B}'=a$. Suy ra ${B}'{C}'=a\sqrt{2}$.
Lại do $BC{C}'{B}'$ là hình vuông nên chiều cao của lăng trụ $B{B}'=a\sqrt{2}$.
${{S}_{\Delta {A}'{B}'{C}'}}=\dfrac{1}{2}{A}'{B}'.{A}'{C}'=\dfrac{{{a}^{2}}}{2}\Rightarrow {{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}={{S}_{\Delta {A}'{B}'{C}'}}.B{B}'=\dfrac{\sqrt{2}{{a}^{3}}}{2}$.
Đáp án B.