Google
Câu hỏi: Cho lăng trụ đứng $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có đáy là tam giác $ABC$ vuông tại $A$, $AB=a,AC=2a$. Góc giữa hai mặt phẳng $\left( {A}'BC \right)$ và $\left( ABC \right)$ bằng $60{}^\circ $. Thể tích $V$ của khối lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}'$ theo $a$.
A. $V=\dfrac{2\sqrt{15}}{5}{{a}^{3}}$
B. $V=\dfrac{2\sqrt{15}}{15}{{a}^{3}}$
C. $V=\dfrac{2\sqrt{15}}{45}{{a}^{3}}$
D. $V=\dfrac{6\sqrt{15}}{45}{{a}^{3}}$
Gọi $H$ và $K$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $A$ trên $BC$ và $mp\left( {A}'BC \right)$.
Khi đó: $\widehat{\left( ABC \right),\left( {A}'BC \right)}=\widehat{AHK}=60{}^\circ $. Theo giả thiết ta tính được $AH=\dfrac{2\sqrt{5}}{5}a$.
Ta có: $AK=AH.\sin 60{}^\circ =\dfrac{\sqrt{15}}{5}a$ và ${{S}_{{A}'BC}}=\dfrac{{{S}_{ABC}}}{\cos 60{}^\circ }=\dfrac{AB.AC}{2\cos 60{}^\circ }=2{{a}^{2}}$
$\Rightarrow {{V}_{{A}'.ABC}}=\dfrac{1}{3}.AK.{{S}_{{A}'BC}}=\dfrac{2\sqrt{15}}{15}{{a}^{3}}\Rightarrow {{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}=\dfrac{2\sqrt{15}}{5}{{a}^{3}}$
A. $V=\dfrac{2\sqrt{15}}{5}{{a}^{3}}$
B. $V=\dfrac{2\sqrt{15}}{15}{{a}^{3}}$
C. $V=\dfrac{2\sqrt{15}}{45}{{a}^{3}}$
D. $V=\dfrac{6\sqrt{15}}{45}{{a}^{3}}$
Khi đó: $\widehat{\left( ABC \right),\left( {A}'BC \right)}=\widehat{AHK}=60{}^\circ $. Theo giả thiết ta tính được $AH=\dfrac{2\sqrt{5}}{5}a$.
Ta có: $AK=AH.\sin 60{}^\circ =\dfrac{\sqrt{15}}{5}a$ và ${{S}_{{A}'BC}}=\dfrac{{{S}_{ABC}}}{\cos 60{}^\circ }=\dfrac{AB.AC}{2\cos 60{}^\circ }=2{{a}^{2}}$
$\Rightarrow {{V}_{{A}'.ABC}}=\dfrac{1}{3}.AK.{{S}_{{A}'BC}}=\dfrac{2\sqrt{15}}{15}{{a}^{3}}\Rightarrow {{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}=\dfrac{2\sqrt{15}}{5}{{a}^{3}}$
Đáp án A.