Google
Câu hỏi: Cho lăng trụ đứng $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A$ và $AB=a$, $AC=a\sqrt{3}$, mặt phẳng $\left( {A}'BC \right)$ tạo với đáy một góc $30{}^\circ $. Thể tích của khối lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}'$ bằng
A. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}$.
B. $\dfrac{3\sqrt{3}{{a}^{3}}}{4}$.
C. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{4}$.
D. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{12}$.
Gọi $AH$ là đường cao của tam giác $ABC$, ta có $\left\{ \begin{aligned}
& BC\bot AH \\
& BC\bot A{A}' \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BC\bot \left( A{A}'H \right)\Rightarrow BC\bot {A}'H $ nên góc giữa mặt phẳng $ \left( {A}'BC \right) $ và mặt phẳng $ \left( ABC \right) $ là góc $ \widehat{AH{A}'}=30{}^\circ $.
Ta có $\dfrac{1}{A{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{A{{B}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{C}^{2}}}=\dfrac{1}{{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{{{\left( a\sqrt{3} \right)}^{2}}}=\dfrac{4}{3{{a}^{2}}}\Rightarrow AH=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
$\tan {{30}^{{}^\circ }}=\dfrac{A{A}'}{AH}\Rightarrow A{A}'=AH.\tan {{30}^{{}^\circ }}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.\dfrac{1}{\sqrt{3}}=\dfrac{a}{2}$.
${{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{1}{2}.AB.AC=\dfrac{1}{2}.a.a\sqrt{3}=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{2}$.
Do đó ${{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}=A{A}'.{{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{a}{2}.\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{2}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{4}$.
A. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}$.
B. $\dfrac{3\sqrt{3}{{a}^{3}}}{4}$.
C. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{4}$.
D. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{12}$.
Gọi $AH$ là đường cao của tam giác $ABC$, ta có $\left\{ \begin{aligned}
& BC\bot AH \\
& BC\bot A{A}' \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BC\bot \left( A{A}'H \right)\Rightarrow BC\bot {A}'H $ nên góc giữa mặt phẳng $ \left( {A}'BC \right) $ và mặt phẳng $ \left( ABC \right) $ là góc $ \widehat{AH{A}'}=30{}^\circ $.
Ta có $\dfrac{1}{A{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{A{{B}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{C}^{2}}}=\dfrac{1}{{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{{{\left( a\sqrt{3} \right)}^{2}}}=\dfrac{4}{3{{a}^{2}}}\Rightarrow AH=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
$\tan {{30}^{{}^\circ }}=\dfrac{A{A}'}{AH}\Rightarrow A{A}'=AH.\tan {{30}^{{}^\circ }}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.\dfrac{1}{\sqrt{3}}=\dfrac{a}{2}$.
${{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{1}{2}.AB.AC=\dfrac{1}{2}.a.a\sqrt{3}=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{2}$.
Do đó ${{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}=A{A}'.{{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{a}{2}.\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{2}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{4}$.
Đáp án C.