Google
Câu hỏi: Cho lăng trụ đứng $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $B$, $AB=B{C}'=\sqrt{3}a$, $\widehat{ACB}=60{}^\circ $. Lấy hai điểm $M, N$ lần lượt trên hai cạnh $A{B}'$ và ${A}'C$ sao cho $\overrightarrow{M{B}'}=2\overrightarrow{AM},$ $\overrightarrow{{A}'C}=3\overrightarrow{{A}'N}$. Thể tích khối đa diện $BMN{C}'C$ bằng
A. $\dfrac{2\sqrt{6}}{27}{{a}^{3}}$.
B. $\dfrac{4}{9}{{a}^{3}}$.
C. $\dfrac{4\sqrt{6}}{27}{{a}^{3}}$.
D. $\dfrac{8\sqrt{3}}{27}{{a}^{3}}$.
Gọi $I=BM\cap {C}'N$ và có $MN \text{//} BC$.
Ta có: $BC=\dfrac{AB}{\tan 60{}^\circ }=a$, $C{C}'=\sqrt{2}a$ và ${{V}_{LT}}=\dfrac{\sqrt{6}}{2}{{a}^{3}}$.
+ ${{V}_{C.BI{C}'}}={{V}_{A.BC{C}'}}=\dfrac{1}{3}{{V}_{LT}}=\dfrac{\sqrt{6}}{6}{{a}^{3}}.$
+ ${{V}_{C.MNI}}=\dfrac{2}{3}{{V}_{C.I{A}'M}}=\dfrac{2}{3}.\dfrac{1}{3}BC.{{S}_{{A}'IM}}=\dfrac{\sqrt{6}}{54}{{a}^{3}}.$
Vậy ${{V}_{C.B{C}'NM}}={{V}_{C.BI{C}'}}-{{V}_{C.MNI}}=\dfrac{4\sqrt{6}}{27}{{a}^{3}}$.
A. $\dfrac{2\sqrt{6}}{27}{{a}^{3}}$.
B. $\dfrac{4}{9}{{a}^{3}}$.
C. $\dfrac{4\sqrt{6}}{27}{{a}^{3}}$.
D. $\dfrac{8\sqrt{3}}{27}{{a}^{3}}$.
Ta có: $BC=\dfrac{AB}{\tan 60{}^\circ }=a$, $C{C}'=\sqrt{2}a$ và ${{V}_{LT}}=\dfrac{\sqrt{6}}{2}{{a}^{3}}$.
+ ${{V}_{C.BI{C}'}}={{V}_{A.BC{C}'}}=\dfrac{1}{3}{{V}_{LT}}=\dfrac{\sqrt{6}}{6}{{a}^{3}}.$
+ ${{V}_{C.MNI}}=\dfrac{2}{3}{{V}_{C.I{A}'M}}=\dfrac{2}{3}.\dfrac{1}{3}BC.{{S}_{{A}'IM}}=\dfrac{\sqrt{6}}{54}{{a}^{3}}.$
Vậy ${{V}_{C.B{C}'NM}}={{V}_{C.BI{C}'}}-{{V}_{C.MNI}}=\dfrac{4\sqrt{6}}{27}{{a}^{3}}$.
Đáp án C.