Cho lăng trụ đứng $A B C . A^{'} B^{'} C^{'}$ có đáy $A B C$ là tam giác...

The Knowledge · 22/3/22

Câu hỏi: Cho lăng trụ đứng

A B C . A^{'} B^{'} C^{'}

có đáy

A B C

là tam giác vuông tại

A

. Khoảng cách từ đường thẳng

A A^{'}

đến mặt phẳng

(B C C^{'} B^{'})

bằng khoảng cách từ điểm

C

đến mặt phẳng

(A B C^{'})

và cùng bằng

1

. Góc giữa hai mặt phẳng

(A B C^{'})

và

(A B C)

bằng

φ

. Tính

\tan φ

khi thể tích khối lăng trụ

A B C . A^{'} B^{'} C^{'}

nhỏ nhất.
A.

\tan φ = \sqrt{2}

.
B.

\tan φ = \sqrt{3}

.
C.

\tan φ = \frac{1}{\sqrt{3}}

.
D.

\tan φ = \frac{1}{\sqrt{2}}

.

Gọi

H

là hình chiếu vuông góc của

A

lên

B C

, khi đó

d (A, (B C C^{'} B^{'})) = A H = 1

.
Gọi

K

là hình chiếu vuông góc của

C

lên

A C^{'}

, do

A B ⊥ (A C C A^{'}) \Rightarrow A B ⊥ C K

khi đó

C K ⊥ (A B C^{'})

hay

d (C, (A B C^{'})) = C K = 1

.
Ta có

φ = \hat{((A B C^{'}), (A B C))} = \hat{C A C^{'}}

.
Ta có

A C = \frac{1}{\sin φ}; C C^{'} = \frac{1}{\cos φ}; \frac{1}{A B^{2}} = 1 - \frac{1}{A C^{2}} = 1 - \sin^{2} φ = \cos^{2} φ \Rightarrow A B = \frac{1}{\cos φ}

.
Vậy

V_{A B C . A^{'} B^{'} C^{'}} = \frac{1}{2} A B . A C . C C^{'} = \frac{1}{2 \sin φ . \cos^{2} φ}

.
Thể tích khối lăng trụ

A B C . A^{'} B^{'} C^{'}

nhỏ nhất hhi

\sin φ . \cos^{2} φ = \sin φ (1 - \sin^{2} φ)

đạt giá trị lớn nhất
Đặt

t = \sin φ, t \in (0; 1)

.
Xét

f (t) = - t^{3} + t

trên

(0; 1)

, ta có

f^{'} (t) = - 3 t^{2} + 1 \Rightarrow f^{'} (t) = 0 \Leftrightarrow t = \frac{1}{\sqrt{3}}

.
Vậy

f (t)

đạt GTLN khi

t = \frac{1}{\sqrt{3}}

hay

\sin φ = \frac{1}{\sqrt{3}} \Rightarrow \tan φ = \frac{1}{\sqrt{2}}

.

Đáp án D.

Cho lăng trụ đứng $A B C . A^{'} B^{'} C^{'}$ có đáy $A B C$ là tam giác...

Câu hỏi này có trong đề thi

Quảng cáo

Thống kê diễn đàn

Share this page

Cho lăng trụ đứng ABC.A′B′C′ có đáy ABC là tam giác...

Câu hỏi này có trong đề thi

Quảng cáo

Cho lăng trụ đứng $A B C . A^{'} B^{'} C^{'}$ có đáy $A B C$ là tam giác...