Google
Câu hỏi: Cho lăng trụ đứng $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A$. Khoảng cách từ đường thẳng $A{A}'$ đến mặt phẳng $\left( BC{C}'{B}' \right)$ bằng khoảng cách từ điểm $C$ đến mặt phẳng $\left( AB{C}' \right)$ và cùng bằng $1$. Góc giữa hai mặt phẳng $\left( AB{C}' \right)$ và $\left( ABC \right)$ bằng $\varphi $. Tính $\tan \varphi $ khi thể tích khối lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}'$ nhỏ nhất.
A. $\tan \varphi =\sqrt{2}$.
B. $\tan \varphi =\sqrt{3}$.
C. $\tan \varphi =\dfrac{1}{\sqrt{3}}$.
D. $\tan \varphi =\dfrac{1}{\sqrt{2}}$.
Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $A$ lên $BC$, khi đó $d\left( A,\left( BC{C}'{B}' \right) \right)=AH=1$.
Gọi $K$ là hình chiếu vuông góc của $C$ lên $A{C}'$, do $AB\bot \left( ACC{A}' \right)\Rightarrow AB\bot CK$ khi đó $CK\bot \left( AB{C}' \right)$ hay $d\left( C,\left( AB{C}' \right) \right)=CK=1$.
Ta có $\varphi =\widehat{\left( \left( AB{C}' \right),\left( ABC \right) \right)}=\widehat{CA{C}'}$.
Ta có $AC=\dfrac{1}{\sin \varphi }; C{C}'=\dfrac{1}{\cos \varphi }; \dfrac{1}{A{{B}^{2}}}=1-\dfrac{1}{A{{C}^{2}}}=1-{{\sin }^{2}}\varphi ={{\cos }^{2}}\varphi \Rightarrow AB=\dfrac{1}{\cos \varphi }$.
Vậy ${{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}=\dfrac{1}{2}AB.AC.C{C}'=\dfrac{1}{2\sin \varphi .{{\cos }^{2}}\varphi }$.
Thể tích khối lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}'$ nhỏ nhất hhi $\sin \varphi .{{\cos }^{2}}\varphi =\sin \varphi \left( 1-{{\sin }^{2}}\varphi \right)$ đạt giá trị lớn nhất
Đặt $t=\sin \varphi , t\in \left( 0;1 \right)$.
Xét $f\left( t \right)=-{{t}^{3}}+t$ trên $\left( 0;1 \right)$, ta có ${f}'\left( t \right)=-3{{t}^{2}}+1\Rightarrow {f}'\left( t \right)=0\Leftrightarrow t=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$.
Vậy $f\left( t \right)$ đạt GTLN khi $t=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ hay $\sin \varphi =\dfrac{1}{\sqrt{3}}\Rightarrow \tan \varphi =\dfrac{1}{\sqrt{2}}$.
A. $\tan \varphi =\sqrt{2}$.
B. $\tan \varphi =\sqrt{3}$.
C. $\tan \varphi =\dfrac{1}{\sqrt{3}}$.
D. $\tan \varphi =\dfrac{1}{\sqrt{2}}$.
Gọi $K$ là hình chiếu vuông góc của $C$ lên $A{C}'$, do $AB\bot \left( ACC{A}' \right)\Rightarrow AB\bot CK$ khi đó $CK\bot \left( AB{C}' \right)$ hay $d\left( C,\left( AB{C}' \right) \right)=CK=1$.
Ta có $\varphi =\widehat{\left( \left( AB{C}' \right),\left( ABC \right) \right)}=\widehat{CA{C}'}$.
Ta có $AC=\dfrac{1}{\sin \varphi }; C{C}'=\dfrac{1}{\cos \varphi }; \dfrac{1}{A{{B}^{2}}}=1-\dfrac{1}{A{{C}^{2}}}=1-{{\sin }^{2}}\varphi ={{\cos }^{2}}\varphi \Rightarrow AB=\dfrac{1}{\cos \varphi }$.
Vậy ${{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}=\dfrac{1}{2}AB.AC.C{C}'=\dfrac{1}{2\sin \varphi .{{\cos }^{2}}\varphi }$.
Thể tích khối lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}'$ nhỏ nhất hhi $\sin \varphi .{{\cos }^{2}}\varphi =\sin \varphi \left( 1-{{\sin }^{2}}\varphi \right)$ đạt giá trị lớn nhất
Đặt $t=\sin \varphi , t\in \left( 0;1 \right)$.
Xét $f\left( t \right)=-{{t}^{3}}+t$ trên $\left( 0;1 \right)$, ta có ${f}'\left( t \right)=-3{{t}^{2}}+1\Rightarrow {f}'\left( t \right)=0\Leftrightarrow t=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$.
Vậy $f\left( t \right)$ đạt GTLN khi $t=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ hay $\sin \varphi =\dfrac{1}{\sqrt{3}}\Rightarrow \tan \varphi =\dfrac{1}{\sqrt{2}}$.
Đáp án D.