Google
Câu hỏi: Cho lăng trụ đứng $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $B$ với $BC=a$ biết mặt phẳng $\left( {A}'BC \right)$ hợp với đáy $\left( ABC \right)$ một góc 600 (tham khảo hình bên).Tính thể tích lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}'$.
A. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{2}$.
B. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{6}$.
C. ${{a}^{3}}\sqrt{3}$.
D. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{3}$.
Ta có $A{A}'\bot \left( ABC \right)\Rightarrow BC\bot A{A}'$, mà $BC\bot AB$ nên $BC\bot {A}'B$
Hơn nữa, $BC\bot AB$ $\Rightarrow \left( \widehat{\left( {A}'BC \right),\left( ABC \right)} \right)=\left( \widehat{{A}'B,AB} \right)=\widehat{{A}'BA}={{60}^{0}}$.
Xét tam giác ${A}'BA$ vuông $A$, ta có $A{A}'=\tan {{60}^{0}}.AB=a\sqrt{3}$.
${{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}={{S}_{\Delta ABC}}.A{A}'=\dfrac{1}{2}a.a.a\sqrt{3}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{2}$.
A. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{2}$.
B. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{6}$.
C. ${{a}^{3}}\sqrt{3}$.
D. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{3}$.
Ta có $A{A}'\bot \left( ABC \right)\Rightarrow BC\bot A{A}'$, mà $BC\bot AB$ nên $BC\bot {A}'B$
Hơn nữa, $BC\bot AB$ $\Rightarrow \left( \widehat{\left( {A}'BC \right),\left( ABC \right)} \right)=\left( \widehat{{A}'B,AB} \right)=\widehat{{A}'BA}={{60}^{0}}$.
Xét tam giác ${A}'BA$ vuông $A$, ta có $A{A}'=\tan {{60}^{0}}.AB=a\sqrt{3}$.
${{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}={{S}_{\Delta ABC}}.A{A}'=\dfrac{1}{2}a.a.a\sqrt{3}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{2}$.
Đáp án A.