Google
Câu hỏi: Cho lăng trụ đứng $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có đáy ABC là tam giác vuông tại A, cạnh AC = a, $\widehat{ABC}=60{}^\circ $. Góc giữa đường thẳng $B{C}'$ và mặt phẳng $\left( A{A}'{C}'C \right)$ bằng $30{}^\circ $. Tính theo a diện tích xung quanh của lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}'$.
A. $4{{\text{a}}^{2}}$.
B. $\left( \sqrt{6}+3 \right){{a}^{2}}$.
C. $\sqrt{2}\left( 3+\sqrt{3} \right){{a}^{2}}$.
D. $2\sqrt{2}\left( 3+\sqrt{3} \right){{a}^{2}}$.
Ta có $AB=AC.\tan 60{}^\circ =a\sqrt{3}$ và $BC=\dfrac{AC}{\cos 60{}^\circ }=2a$
Lại có $\left\{ \begin{aligned}
& AB\bot C{C}' \\
& AB\bot AC \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AB\bot \left( AC{C}'{A}' \right)\Rightarrow B{C}'A=30{}^\circ $
$\Rightarrow {C}'B=\dfrac{AB}{\sin 30{}^\circ }=2\text{a}\sqrt{3}$
$\Rightarrow C{C}'=\sqrt{{C}'{{B}^{2}}-C{{B}^{2}}}=\sqrt{{{\left( 2\sqrt{3}a \right)}^{2}}-{{\left( 2\text{a} \right)}^{2}}}=2\text{a}\sqrt{2}$
Gọi ${{S}_{1}};{{S}_{2}};{{S}_{3}}$ lần lượt là diện tích của các hình chữ nhật $AC{C}'{A}';CB{B}'{C}';AB{B}'{A}'$
$\Rightarrow {{S}_{1}}=AC.C{C}'=2\sqrt{2}{{a}^{2}};{{S}_{2}}=CB.B{B}'=4\sqrt{2}{{a}^{2}};{{S}_{3}}=AB.B{B}'=2\sqrt{6}{{a}^{2}}$
$\Rightarrow $ Diện tích xung quanh S của lăng trụ là $S={{S}_{1}}+{{S}_{2}}+{{S}_{3}}=2\sqrt{2}\left( 3+\sqrt{3} \right){{a}^{2}}.$
A. $4{{\text{a}}^{2}}$.
B. $\left( \sqrt{6}+3 \right){{a}^{2}}$.
C. $\sqrt{2}\left( 3+\sqrt{3} \right){{a}^{2}}$.
D. $2\sqrt{2}\left( 3+\sqrt{3} \right){{a}^{2}}$.
Ta có $AB=AC.\tan 60{}^\circ =a\sqrt{3}$ và $BC=\dfrac{AC}{\cos 60{}^\circ }=2a$
Lại có $\left\{ \begin{aligned}
& AB\bot C{C}' \\
& AB\bot AC \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AB\bot \left( AC{C}'{A}' \right)\Rightarrow B{C}'A=30{}^\circ $
$\Rightarrow {C}'B=\dfrac{AB}{\sin 30{}^\circ }=2\text{a}\sqrt{3}$
$\Rightarrow C{C}'=\sqrt{{C}'{{B}^{2}}-C{{B}^{2}}}=\sqrt{{{\left( 2\sqrt{3}a \right)}^{2}}-{{\left( 2\text{a} \right)}^{2}}}=2\text{a}\sqrt{2}$
Gọi ${{S}_{1}};{{S}_{2}};{{S}_{3}}$ lần lượt là diện tích của các hình chữ nhật $AC{C}'{A}';CB{B}'{C}';AB{B}'{A}'$
$\Rightarrow {{S}_{1}}=AC.C{C}'=2\sqrt{2}{{a}^{2}};{{S}_{2}}=CB.B{B}'=4\sqrt{2}{{a}^{2}};{{S}_{3}}=AB.B{B}'=2\sqrt{6}{{a}^{2}}$
$\Rightarrow $ Diện tích xung quanh S của lăng trụ là $S={{S}_{1}}+{{S}_{2}}+{{S}_{3}}=2\sqrt{2}\left( 3+\sqrt{3} \right){{a}^{2}}.$
Đáp án D.