Google
Câu hỏi: Cho lăng trụ đứng $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có chiều cao bằng $4$, đáy $ABC$ là tam giác cân tại $A$ với $AB=AC=2; \widehat{BAC}={{120}^{\text{O}}}$. Diện tích mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ trên
A. $16\pi $.
B. $32\pi $.
C. $\dfrac{64\sqrt{2}}{3}\pi $.
D. $\dfrac{32\sqrt{2}\pi }{3}$.
Gọi $H$ là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác $ABC$ và $K$ là trung điểm của đoạn $A{A}'$. Dựng đường thẳng $d$ vuông góc với mặt phẳng $\left( ABC \right)$ tại $H$ và đường thẳng trung trực ${d}'$ của đoạn $A{A}'$ nằm trong mặt phẳng $\left( d;{d}' \right)$. Giao điểm $I$ của $d$ và ${d}'$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ đứng $ABC.{A}'{B}'{C}'$ và $R=AI$ là bán kính của mặt cầu này.
Ta có $BC=\sqrt{A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}-2AB.AC\cos {{120}^{\text{o}}}}=2\sqrt{3}$
Áp dụng định lý sin cho tam giác $ABC$ ta có
$\dfrac{BC}{\sin \widehat{BAC}}=2AH\Rightarrow AH=2$
Xét hình chữ nhật $AKIH$ ta có
$R=AI=\sqrt{I{{H}^{2}}+A{{H}^{2}}}=2\sqrt{2}$.
Vậy diện tích mặt cầu bằng $S=4\pi {{R}^{2}}=32\pi $.
A. $16\pi $.
B. $32\pi $.
C. $\dfrac{64\sqrt{2}}{3}\pi $.
D. $\dfrac{32\sqrt{2}\pi }{3}$.
Gọi $H$ là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác $ABC$ và $K$ là trung điểm của đoạn $A{A}'$. Dựng đường thẳng $d$ vuông góc với mặt phẳng $\left( ABC \right)$ tại $H$ và đường thẳng trung trực ${d}'$ của đoạn $A{A}'$ nằm trong mặt phẳng $\left( d;{d}' \right)$. Giao điểm $I$ của $d$ và ${d}'$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ đứng $ABC.{A}'{B}'{C}'$ và $R=AI$ là bán kính của mặt cầu này.
Ta có $BC=\sqrt{A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}-2AB.AC\cos {{120}^{\text{o}}}}=2\sqrt{3}$
Áp dụng định lý sin cho tam giác $ABC$ ta có
$\dfrac{BC}{\sin \widehat{BAC}}=2AH\Rightarrow AH=2$
Xét hình chữ nhật $AKIH$ ta có
$R=AI=\sqrt{I{{H}^{2}}+A{{H}^{2}}}=2\sqrt{2}$.
Vậy diện tích mặt cầu bằng $S=4\pi {{R}^{2}}=32\pi $.
Đáp án B.