Google
Câu hỏi: Cho lăng trụ đứng ABC. A' B' C' có cạnh AA' = a, đáy là tam giác ABCvuông tại Acó $BC=2a,~AB=a\sqrt{3}$. Tính khoảng cách từ đường thẳng AA' đến mặt phẳng $\left( BCC'B' \right)$.
A. $\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$
B. $\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$
C. $\dfrac{a\sqrt{3}}{4}$
D. $\dfrac{a\sqrt{3}}{6}$
A. $\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$
B. $\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$
C. $\dfrac{a\sqrt{3}}{4}$
D. $\dfrac{a\sqrt{3}}{6}$
Phương pháp:
- Khoảng cách từ đường thẳng dđến mặt phẳng (α) song song với dlà khoảng cách từ một điểm bất kì trên đường thẳng dđến mp (α).
- Xác định khoảng cách từ Ađến ( BCC'B' ) bằng cách tìm hình chiếu vuông góc của Alên ( BCC'B').
Cách giải:
Do ABC.A'B'C'là lăng trụ nên AA' $\parallel $ BB' $\parallel $ CC'⇒ AA' $\parallel $ ( BCC'B' ).
Do đó, d( AA'; ( BCC' B' ) ) = d( A;( BCC'B')).
Trong ( ABC) qua Akẻ AH⊥ BC( H∈ BC) (1).
Ta có: ABC. A'B'C' là lăng trụ đứng nên BB' ⊥ ( ABC) ⇒ BB' ⊥ AH( 2 )
Từ (1) và (2) suy ra AH⊥ ( BCC' B') hay d( A; ( BCC' B' ) ) = AH.
Tam giác ABCvuông tại Acó BC= 2a, AB= $\sqrt{3}a$ ⇒ AC= $\sqrt{B{{C}^{2}}-A{{B}^{2}}}$ = a.
Do đó, $AH=\dfrac{AB.AC}{BC}=\dfrac{\sqrt{3}a}{2}$ (hệ thức lượng trong tam giác vuông).
Vậy $d\left( AA';\left( BCC'B \right) \right)=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$
- Khoảng cách từ đường thẳng dđến mặt phẳng (α) song song với dlà khoảng cách từ một điểm bất kì trên đường thẳng dđến mp (α).
- Xác định khoảng cách từ Ađến ( BCC'B' ) bằng cách tìm hình chiếu vuông góc của Alên ( BCC'B').
Cách giải:
Do ABC.A'B'C'là lăng trụ nên AA' $\parallel $ BB' $\parallel $ CC'⇒ AA' $\parallel $ ( BCC'B' ).
Do đó, d( AA'; ( BCC' B' ) ) = d( A;( BCC'B')).
Trong ( ABC) qua Akẻ AH⊥ BC( H∈ BC) (1).
Ta có: ABC. A'B'C' là lăng trụ đứng nên BB' ⊥ ( ABC) ⇒ BB' ⊥ AH( 2 )
Từ (1) và (2) suy ra AH⊥ ( BCC' B') hay d( A; ( BCC' B' ) ) = AH.
Tam giác ABCvuông tại Acó BC= 2a, AB= $\sqrt{3}a$ ⇒ AC= $\sqrt{B{{C}^{2}}-A{{B}^{2}}}$ = a.
Do đó, $AH=\dfrac{AB.AC}{BC}=\dfrac{\sqrt{3}a}{2}$ (hệ thức lượng trong tam giác vuông).
Vậy $d\left( AA';\left( BCC'B \right) \right)=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$
Đáp án A.