Google
Câu hỏi: Cho lăng trụ đứng $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có $AC=a\sqrt{7}, \widehat{ABC}=30{}^\circ $, $AB=A{A}'$. Gọi $M$ là trung điểm của $B{B}'$, khoảng cách giữa hai đường thẳng $AM$ và $C{C}'$ bằng $a\sqrt{3}$. Thể tích của khối lăng trụ đứng $ABC.{A}'{B}'{C}'$ là
A. $\dfrac{5\sqrt{3}}{3}{{a}^{3}}$.
B. $\dfrac{25{{a}^{3}}}{2}$.
C. $\dfrac{25\sqrt{3}{{a}^{3}}}{6}$.
D. $\dfrac{5\sqrt{3}}{6}{{a}^{3}}$
Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $C$ trên $AB$.
Có $ABC.{A}'{B}'{C}'$ là hình lăng trụ đứng nên $CH\bot \left( AB{B}'{A}' \right)\Rightarrow d\left( C,\left( AB{B}'{A}' \right) \right)=CH$
$C{C}'//B{B}'\Rightarrow C{C}'//\left( AB{B}'{A}' \right)$ nên $d\left( C{C}',AM \right)=d\left( C{C}',\left( AB{B}'{A}' \right) \right)=d\left( C,\left( AB{B}'{A}' \right) \right)=CH$
Tam giác $ACH$ vuông tại $H$ nên $AH=\sqrt{A{{C}^{2}}-H{{C}^{2}}}=2a$
Mặt khác, $BH=HC.\cot {{30}^{0}}=3a\Rightarrow AB=\text{A{A}'}=5a$
${{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{1}{2}AB.CH=\dfrac{5\sqrt{3}{{a}^{2}}}{2}$.
Vậy ${{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}=\dfrac{1}{3}A{A}'.{{S}_{ABC}}=\dfrac{25\sqrt{3}}{6}{{a}^{3}}$.
A. $\dfrac{5\sqrt{3}}{3}{{a}^{3}}$.
B. $\dfrac{25{{a}^{3}}}{2}$.
C. $\dfrac{25\sqrt{3}{{a}^{3}}}{6}$.
D. $\dfrac{5\sqrt{3}}{6}{{a}^{3}}$
Có $ABC.{A}'{B}'{C}'$ là hình lăng trụ đứng nên $CH\bot \left( AB{B}'{A}' \right)\Rightarrow d\left( C,\left( AB{B}'{A}' \right) \right)=CH$
$C{C}'//B{B}'\Rightarrow C{C}'//\left( AB{B}'{A}' \right)$ nên $d\left( C{C}',AM \right)=d\left( C{C}',\left( AB{B}'{A}' \right) \right)=d\left( C,\left( AB{B}'{A}' \right) \right)=CH$
Tam giác $ACH$ vuông tại $H$ nên $AH=\sqrt{A{{C}^{2}}-H{{C}^{2}}}=2a$
Mặt khác, $BH=HC.\cot {{30}^{0}}=3a\Rightarrow AB=\text{A{A}'}=5a$
${{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{1}{2}AB.CH=\dfrac{5\sqrt{3}{{a}^{2}}}{2}$.
Vậy ${{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}=\dfrac{1}{3}A{A}'.{{S}_{ABC}}=\dfrac{25\sqrt{3}}{6}{{a}^{3}}$.
Đáp án C.
