Google
Câu hỏi: Cho lăng trụ đứng $ABC.{A}'{B}'{C}'$. Biết rằng góc giữa hai mặt phẳng $\left( {A}'BC \right)$ và $\left( ABC \right)$ là ${{30}^{0}}$, tam giác ${A}'BC$ đều và diện tích bằng $\sqrt{3}$. Thể tích khối lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}'$ bằng
A. $6$.
B. $\dfrac{3\sqrt{3}}{4}$.
C. $2\sqrt{3}$.
D. $\dfrac{\sqrt{3}}{4}$
Gọi $D$ là trung điểm của $BC$
$\Delta {A}'BC$ đều $\Rightarrow ABC$ cân tại $A$
Ta có: ${{\left\{ \begin{aligned}
& \left( ABC \right)\cap \left( {A}'BC \right)=BC \\
& AD\subset \left( ABC \right),AD\bot BC \\
& {A}'D\subset \left( {A}'BC \right),{A}'D\bot BC\left( BC\bot AD,BC\bot {A}'A \right) \\
\end{aligned} \right.}^{\prime }}$
$\Rightarrow \left( \left( {A}'BC \right),\left( ABC \right) \right)=\left( {A}'D,AD \right)=\widehat{{A}'DA}={{30}^{0}}$
* ${{S}_{{A}'BC}}=\sqrt{3}\Rightarrow BC=2$ $\Rightarrow AD=\dfrac{2\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$
* ${{S}_{ABC}}={{S}_{{A}'BC}}.\text{cos}\left( \left( {A}'BC \right),\left( ABC \right) \right)=\sqrt{3}.c\text{os3}{{\text{0}}^{0}}=\dfrac{3}{2}$
* $\sin \widehat{{A}'DA}=\dfrac{{A}'A}{AD}\Rightarrow {A}'A=\sin \widehat{{A}'DA}.AD=\sin {{30}^{0}}.\sqrt{3}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
* Thể tích khối lăng trụ là ${{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}={A}'A.{{S}_{ABC}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}.\dfrac{3}{2}=\dfrac{3\sqrt{3}}{4}$
A. $6$.
B. $\dfrac{3\sqrt{3}}{4}$.
C. $2\sqrt{3}$.
D. $\dfrac{\sqrt{3}}{4}$
$\Delta {A}'BC$ đều $\Rightarrow ABC$ cân tại $A$
Ta có: ${{\left\{ \begin{aligned}
& \left( ABC \right)\cap \left( {A}'BC \right)=BC \\
& AD\subset \left( ABC \right),AD\bot BC \\
& {A}'D\subset \left( {A}'BC \right),{A}'D\bot BC\left( BC\bot AD,BC\bot {A}'A \right) \\
\end{aligned} \right.}^{\prime }}$
$\Rightarrow \left( \left( {A}'BC \right),\left( ABC \right) \right)=\left( {A}'D,AD \right)=\widehat{{A}'DA}={{30}^{0}}$
* ${{S}_{{A}'BC}}=\sqrt{3}\Rightarrow BC=2$ $\Rightarrow AD=\dfrac{2\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$
* ${{S}_{ABC}}={{S}_{{A}'BC}}.\text{cos}\left( \left( {A}'BC \right),\left( ABC \right) \right)=\sqrt{3}.c\text{os3}{{\text{0}}^{0}}=\dfrac{3}{2}$
* $\sin \widehat{{A}'DA}=\dfrac{{A}'A}{AD}\Rightarrow {A}'A=\sin \widehat{{A}'DA}.AD=\sin {{30}^{0}}.\sqrt{3}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
* Thể tích khối lăng trụ là ${{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}={A}'A.{{S}_{ABC}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}.\dfrac{3}{2}=\dfrac{3\sqrt{3}}{4}$
Đáp án B.