Câu hỏi: Cho lăng trụ đứng $ABC.{A}'{B}'{C}'$. Biết rằng góc giữa hai mặt phẳng $\left( {A}'BC \right)$ và $\left( ABC \right)$ là $30{}^\circ $, tam giác ${A}'BC$ đều và diện tích bằng $\sqrt{3}$. Thể tích khối lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}'$ bằng
A. $2\sqrt{3}$.
B. $6$.
C. $\dfrac{3\sqrt{3}}{4}$.
D. $\dfrac{\sqrt{3}}{4}$.
Trong $\left( ABC \right)$ vẽ $AH\bot BC$ tại $H$.
Dễ thấy $BC\bot \left( {A}'AH \right)\Rightarrow BC\bot {A}'H$ nên $\left( \left( {A}'BC \right),\left( ABC \right) \right)=\left( {A}'H,AH \right)=\widehat{{A}'HA}=30{}^\circ $.
Tam giác ${A}'BC$ đều có ${A}'H$ là đường cao nên đồng thời là đường trung tuyến.
Ta có $AH=\dfrac{{A}'A}{\tan 30{}^\circ }={A}'A.\sqrt{3}$ và ${A}'H=\dfrac{{A}'A}{\sin 30{}^\circ }=2{A}'A$.
Diện tích ${{S}_{{A}'BC}}=B{{C}^{2}}\dfrac{\sqrt{3}}{4}\Rightarrow B{{C}^{2}}\dfrac{\sqrt{3}}{4}=\sqrt{3}\Leftrightarrow B{{C}^{2}}=4\Rightarrow BC=2$.
Mà ${A}'H=\dfrac{BC\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}\Rightarrow {A}'A=\dfrac{\sqrt{3}}{2};AH=\dfrac{3}{2}$.
Thể tích khối lăng trụ ${{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}={A}'A.{{S}_{ABC}}={A}'A.\left( \dfrac{1}{2}.AH.BC \right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}.\dfrac{1}{2}.\dfrac{3}{2}.2=\dfrac{3\sqrt{3}}{4}$.
A. $2\sqrt{3}$.
B. $6$.
C. $\dfrac{3\sqrt{3}}{4}$.
D. $\dfrac{\sqrt{3}}{4}$.
Dễ thấy $BC\bot \left( {A}'AH \right)\Rightarrow BC\bot {A}'H$ nên $\left( \left( {A}'BC \right),\left( ABC \right) \right)=\left( {A}'H,AH \right)=\widehat{{A}'HA}=30{}^\circ $.
Tam giác ${A}'BC$ đều có ${A}'H$ là đường cao nên đồng thời là đường trung tuyến.
Ta có $AH=\dfrac{{A}'A}{\tan 30{}^\circ }={A}'A.\sqrt{3}$ và ${A}'H=\dfrac{{A}'A}{\sin 30{}^\circ }=2{A}'A$.
Diện tích ${{S}_{{A}'BC}}=B{{C}^{2}}\dfrac{\sqrt{3}}{4}\Rightarrow B{{C}^{2}}\dfrac{\sqrt{3}}{4}=\sqrt{3}\Leftrightarrow B{{C}^{2}}=4\Rightarrow BC=2$.
Mà ${A}'H=\dfrac{BC\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}\Rightarrow {A}'A=\dfrac{\sqrt{3}}{2};AH=\dfrac{3}{2}$.
Thể tích khối lăng trụ ${{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}={A}'A.{{S}_{ABC}}={A}'A.\left( \dfrac{1}{2}.AH.BC \right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}.\dfrac{1}{2}.\dfrac{3}{2}.2=\dfrac{3\sqrt{3}}{4}$.
Đáp án C.