Cho lăng trụ đứng $A B C . A^{'} B^{'} C^{'}$ . Biết rằng góc giữa hai mặt...

The Funny · 28/5/23

Câu hỏi: Cho lăng trụ đứng

A B C . A^{'} B^{'} C^{'}

. Biết rằng góc giữa hai mặt phẳng

(A^{'} B C)

và

(A B C)

là

30^{\circ}

, tam giác

A^{'} B C

đều và diện tích bằng

\sqrt{3}

. Thể tích khối lăng trụ

A B C . A^{'} B^{'} C^{'}

bằng
A.

2 \sqrt{3}

.
B.

6

.
C.

\frac{3 \sqrt{3}}{4}

.
D.

\frac{\sqrt{3}}{4}

.

Trong

(A B C)

vẽ

A H ⊥ B C

tại

H

.
Dễ thấy

B C ⊥ (A^{'} A H) \Rightarrow B C ⊥ A^{'} H

nên

((A^{'} B C), (A B C)) = (A^{'} H, A H) = \hat{A^{'} H A} = 30^{\circ}

.
Tam giác

A^{'} B C

đều có

A^{'} H

là đường cao nên đồng thời là đường trung tuyến.
Ta có

A H = \frac{A^{'} A}{\tan 30^{\circ}} = A^{'} A . \sqrt{3}

và

A^{'} H = \frac{A^{'} A}{\sin 30^{\circ}} = 2 A^{'} A

.
Diện tích

S_{A^{'} B C} = B C^{2} \frac{\sqrt{3}}{4} \Rightarrow B C^{2} \frac{\sqrt{3}}{4} = \sqrt{3} \Leftrightarrow B C^{2} = 4 \Rightarrow B C = 2

.
Mà

A^{'} H = \frac{B C \sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} \Rightarrow A^{'} A = \frac{\sqrt{3}}{2}; A H = \frac{3}{2}

.
Thể tích khối lăng trụ

V_{A B C . A^{'} B^{'} C^{'}} = A^{'} A . S_{A B C} = A^{'} A . (\frac{1}{2} . A H . B C) = \frac{\sqrt{3}}{2} . \frac{1}{2} . \frac{3}{2} .2 = \frac{3 \sqrt{3}}{4}

.

Đáp án C.

Cho lăng trụ đứng ABC.A′B′C′. Biết rằng góc giữa hai mặt...