Cho lăng trụ đều tam giác $A B C . A^{'} B^{'} C^{'}$ có cạnh...

The Knowledge · 15/12/21

Câu hỏi: Cho lăng trụ đều tam giác

A B C . A^{'} B^{'} C^{'}

có cạnh

A B = 2 a

, M là trung điểm của

A^{'} B^{'}

,

d (C^{'}, (M B C)) = \frac{a \sqrt{2}}{2}

. Thể tích khối lăng trụ

A B C . A^{'} B^{'} C^{'}

bằng
A.

\frac{\sqrt{2}}{3} a^{3}

B.

\frac{\sqrt{2}}{6} a^{3}

C.

\frac{3 \sqrt{2}}{2} a^{3}

D.

\frac{\sqrt{2}}{2} a^{3}

Gọi J, K, H theo thứ tự là trung điểm của BC,

B^{'} C^{'}, K {A}'

.

M H // BC \Rightarrow (M B C) \equiv (M H J B)

.

B^{'} C^{'} // (M B C) \Rightarrow d (C^{'}, (M B C)) = d (K, (M B C))

.

M H ⊥ K {A}', M H ⊥ J K \Rightarrow M H ⊥ (J K H) \Rightarrow (J K H) ⊥ (M H J B)

.
Gọi L là hình chiếu của K trên

J H \Rightarrow d (K, (M B C)) = K L

.
Tam giác JKH vuông tại K có đường cao

K L = \frac{a \sqrt{2}}{2}, K H = \frac{a \sqrt{3}}{2}

;

\frac{1}{K L^{2}} = \frac{1}{K H^{2}} + \frac{1}{K J^{2}} \Rightarrow K J = \frac{a \sqrt{6}}{2}

là độ dài dường cao của lăng trụ.
Vậy

V_{A B C . A^{'} B^{'} C^{'}} = K J . S_{A B C} = \frac{3 \sqrt{2}}{2} a^{3}

.

Đáp án C.

Cho lăng trụ đều tam giác ABC.A′B′C′ có cạnh...