Google
Câu hỏi: Cho lăng trụ đều tam giác $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có cạnh $AB=2\text{a}$, M là trung điểm của ${A}'{B}'$, $d\left( {C}',(MBC) \right)=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$. Thể tích khối lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}'$ bằng
A. $\dfrac{\sqrt{2}}{3}{{a}^{3}}$
B. $\dfrac{\sqrt{2}}{6}{{a}^{3}}$
C. $\dfrac{3\sqrt{2}}{2}{{a}^{3}}$
D. $\dfrac{\sqrt{2}}{2}{{a}^{3}}$
Gọi J, K, H theo thứ tự là trung điểm của BC, ${B}'{C}',K\text{{A}'}$.
$MH\text{ // BC}\Rightarrow \left( MBC \right)\equiv \left( MHJB \right)$.
${B}'{C}'\text{ // }\left( MBC \right)\Rightarrow d\left( {C}',(MBC) \right)=d\left( K,(MBC) \right)$.
$MH\bot K\text{{A}'},MH\bot JK\Rightarrow MH\bot \left( JKH \right)\Rightarrow \left( JKH \right)\bot \left( MHJB \right)$.
Gọi L là hình chiếu của K trên $JH\Rightarrow d\left( K,(MBC) \right)=KL$.
Tam giác JKH vuông tại K có đường cao $KL=\dfrac{a\sqrt{2}}{2},KH=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$ ;
$\dfrac{1}{K{{L}^{2}}}=\dfrac{1}{K{{H}^{2}}}+\dfrac{1}{K{{J}^{2}}}\Rightarrow KJ=\dfrac{a\sqrt{6}}{2}$ là độ dài dường cao của lăng trụ.
Vậy ${{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}=KJ.{{S}_{ABC}}=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}{{a}^{3}}$.
A. $\dfrac{\sqrt{2}}{3}{{a}^{3}}$
B. $\dfrac{\sqrt{2}}{6}{{a}^{3}}$
C. $\dfrac{3\sqrt{2}}{2}{{a}^{3}}$
D. $\dfrac{\sqrt{2}}{2}{{a}^{3}}$
Gọi J, K, H theo thứ tự là trung điểm của BC, ${B}'{C}',K\text{{A}'}$.
$MH\text{ // BC}\Rightarrow \left( MBC \right)\equiv \left( MHJB \right)$.
${B}'{C}'\text{ // }\left( MBC \right)\Rightarrow d\left( {C}',(MBC) \right)=d\left( K,(MBC) \right)$.
$MH\bot K\text{{A}'},MH\bot JK\Rightarrow MH\bot \left( JKH \right)\Rightarrow \left( JKH \right)\bot \left( MHJB \right)$.
Gọi L là hình chiếu của K trên $JH\Rightarrow d\left( K,(MBC) \right)=KL$.
Tam giác JKH vuông tại K có đường cao $KL=\dfrac{a\sqrt{2}}{2},KH=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$ ;
$\dfrac{1}{K{{L}^{2}}}=\dfrac{1}{K{{H}^{2}}}+\dfrac{1}{K{{J}^{2}}}\Rightarrow KJ=\dfrac{a\sqrt{6}}{2}$ là độ dài dường cao của lăng trụ.
Vậy ${{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}=KJ.{{S}_{ABC}}=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}{{a}^{3}}$.
Đáp án C.