Google
Câu hỏi: Cho lăng trụ đều $ABC.A'B'C'$. Tất cả các cạnh có độ dài bằng $a.$ Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $BC.$ Khoảng cách giữa hai đường thẳng $AM$ và $BC'$ bằng?
A. $\dfrac{a}{2}.$
B. $\dfrac{a\sqrt{2}}{4}.$
C. $\dfrac{a\sqrt{2}}{2}.$
D. $\dfrac{a}{4}.$
Gọi $N$ là trung điểm của $CC'\Rightarrow MN//BC',MN\subset \left( AMN \right)\Rightarrow BC'//\left( AMN \right)$
$\Rightarrow d\left( BC',MN \right)=d\left( BC',\left( AMN \right) \right)=d\left( B,\left( AMN \right) \right)=d\left( C,\left( AMN \right) \right).$
Ta có $\Delta ABC$ đều, $M$ là trung điểm của $BC\Rightarrow AM\bot BC,AM\bot CC'\Rightarrow AM\bot \left( BCC'B' \right)$
Mà $AM\subset \left( AMN \right)\Rightarrow \left( BCC'B' \right)\bot \left( AMN \right).$
Gọi $H$ là trung điểm của $MN,$ vì tam giác $CMN$ vuông cân tại $C$ (do $CM=CN=\dfrac{a}{2})$
$\Rightarrow CH\bot MN\Rightarrow CH\bot \left( AMN \right)\Rightarrow d\left( C,\left( AMN \right) \right)=CH=\dfrac{MN}{2}=\dfrac{\sqrt{2}a}{4}.$
Vậy $d\left( AM,BC' \right)=\dfrac{\sqrt{2}a}{4}.$
A. $\dfrac{a}{2}.$
B. $\dfrac{a\sqrt{2}}{4}.$
C. $\dfrac{a\sqrt{2}}{2}.$
D. $\dfrac{a}{4}.$
Gọi $N$ là trung điểm của $CC'\Rightarrow MN//BC',MN\subset \left( AMN \right)\Rightarrow BC'//\left( AMN \right)$
$\Rightarrow d\left( BC',MN \right)=d\left( BC',\left( AMN \right) \right)=d\left( B,\left( AMN \right) \right)=d\left( C,\left( AMN \right) \right).$
Ta có $\Delta ABC$ đều, $M$ là trung điểm của $BC\Rightarrow AM\bot BC,AM\bot CC'\Rightarrow AM\bot \left( BCC'B' \right)$
Mà $AM\subset \left( AMN \right)\Rightarrow \left( BCC'B' \right)\bot \left( AMN \right).$
Gọi $H$ là trung điểm của $MN,$ vì tam giác $CMN$ vuông cân tại $C$ (do $CM=CN=\dfrac{a}{2})$
$\Rightarrow CH\bot MN\Rightarrow CH\bot \left( AMN \right)\Rightarrow d\left( C,\left( AMN \right) \right)=CH=\dfrac{MN}{2}=\dfrac{\sqrt{2}a}{4}.$
Vậy $d\left( AM,BC' \right)=\dfrac{\sqrt{2}a}{4}.$
Đáp án B.