Google
Câu hỏi: Cho lăng trụ đều $ABC.A'B'C'$ có tất cả các cạnh bằng $a.$ Gọi $\alpha $ là góc giữa mặt phẳng $\left( A'BC \right)$ và mặt phẳng $\left( ABC \right).$ Tính $\tan \alpha .$
A. $\tan \alpha =\sqrt{3}.$
B. $\tan \alpha =2.$
C. $\tan \alpha =\dfrac{2\sqrt{3}}{3}.$
D. $\tan \alpha =\dfrac{\sqrt{3}}{2}.$
Gọi $M$ là trung điểm của $BC,$ suy ra $\left\{ \begin{aligned}
& BC\bot AM \\
& BC\bot A'A \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BC\bot A'M.$
Vậy $\left\{ \begin{aligned}
& \left( A'BC \right)\cap \left( ABC \right)=BC \\
& BC\bot AM,BC\bot A'M \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \alpha =\left( \left( A'BC \right);\left( ABC \right) \right)=\left( AM;A'M \right)=\widehat{A'MA}.$
Tam giác $ABC$ đều cạnh $a$ nên $AM=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.$
Suy ra: $\tan \alpha =\tan \widehat{A'MA}=\dfrac{AA'}{AM}=\dfrac{a}{\dfrac{a\sqrt{3}}{2}}=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}.$
A. $\tan \alpha =\sqrt{3}.$
B. $\tan \alpha =2.$
C. $\tan \alpha =\dfrac{2\sqrt{3}}{3}.$
D. $\tan \alpha =\dfrac{\sqrt{3}}{2}.$
Gọi $M$ là trung điểm của $BC,$ suy ra $\left\{ \begin{aligned}
& BC\bot AM \\
& BC\bot A'A \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BC\bot A'M.$
Vậy $\left\{ \begin{aligned}
& \left( A'BC \right)\cap \left( ABC \right)=BC \\
& BC\bot AM,BC\bot A'M \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \alpha =\left( \left( A'BC \right);\left( ABC \right) \right)=\left( AM;A'M \right)=\widehat{A'MA}.$
Tam giác $ABC$ đều cạnh $a$ nên $AM=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.$
Suy ra: $\tan \alpha =\tan \widehat{A'MA}=\dfrac{AA'}{AM}=\dfrac{a}{\dfrac{a\sqrt{3}}{2}}=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}.$
Đáp án C.