Google
Câu hỏi: Cho lăng trụ đều $ABC.A'B'C'$ có cạnh đáy bằng $1,$ chiều cao bằng $2.$ Thể tích khối cầu ngoại tiếp lăng trụ đã cho bằng:
A. $\dfrac{32\sqrt{3}\pi }{27}$.
B. $\dfrac{16\pi }{3}$.
C. $\dfrac{16\pi }{9}$.
D. $\dfrac{32\sqrt{3}\pi }{9}$.
Gọi $I, {I}'$ lần lượt là trọng tâm tam giác $ABC, {A}'{B}'{C}'$, $O$ là trung điểm của $I{I}'$. Khi đó $O$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ.
Ta có $AI=\dfrac{2}{3}AM=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$, $OI=1$.
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ $R=OA=\sqrt{O{{I}^{2}}+A{{I}^{2}}}=\sqrt{{{\left( 1 \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{1}{\sqrt{3}} \right)}^{2}}}=\dfrac{2}{\sqrt{3}}$.
Thể tích khối cầu ngoại tiếp lăng trụ $V=\dfrac{4}{3}\pi {{R}^{3}}=\dfrac{4}{3}\pi .{{\left( \dfrac{2}{\sqrt{3}} \right)}^{3}}=\dfrac{32\pi }{9\sqrt{3}}=\dfrac{32\pi \sqrt{3}}{27}$.
A. $\dfrac{32\sqrt{3}\pi }{27}$.
B. $\dfrac{16\pi }{3}$.
C. $\dfrac{16\pi }{9}$.
D. $\dfrac{32\sqrt{3}\pi }{9}$.
Ta có $AI=\dfrac{2}{3}AM=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$, $OI=1$.
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ $R=OA=\sqrt{O{{I}^{2}}+A{{I}^{2}}}=\sqrt{{{\left( 1 \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{1}{\sqrt{3}} \right)}^{2}}}=\dfrac{2}{\sqrt{3}}$.
Thể tích khối cầu ngoại tiếp lăng trụ $V=\dfrac{4}{3}\pi {{R}^{3}}=\dfrac{4}{3}\pi .{{\left( \dfrac{2}{\sqrt{3}} \right)}^{3}}=\dfrac{32\pi }{9\sqrt{3}}=\dfrac{32\pi \sqrt{3}}{27}$.
Đáp án A.