Google
Câu hỏi: Cho lăng trụ đều $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có tất cả các cạnh bằng nhau và bằng a. Lấy các điểm M, N nằm trên cạnh BC; P, Q lần lượt nằm trên cạnh AC, AB sao cho MNPQ là hình chữ nhật. Hình hộp chữ nhật $MNPQ.{M}'{N}'{P}'{Q}'$ nội tiếp trong lăng trụ đều $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có thể tích lớn nhất là:
A. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{4}.$
B. $\dfrac{{{a}^{3}}}{8}.$
C. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{8}.$
D. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{4}.$
Gọi độ dài đoạn MN là x với $\left( 0<x<a \right)$ thì $MQ=\dfrac{\left( a-x \right)\sqrt{3}}{2}.$
Thể tích của hình hộp chữ nhật $MNPQ.{M}'{N}'{P}'{Q}'$ là $V=\dfrac{ax\left( a-x \right)\sqrt{3}}{2}.$
Xét hàm số $f\left( x \right)=\dfrac{a\sqrt{3}x\left( a-x \right)}{2}$ có
${f}'\left( x \right)=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\left( a-2x \right);{f}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow x=\dfrac{a}{2}$
Vậy thể tích lớn nhất của hình hộp chữ nhật $MNPQ.{M}'{N}'{P}'{Q}'$ là $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{8}.$
A. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{4}.$
B. $\dfrac{{{a}^{3}}}{8}.$
C. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{8}.$
D. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{4}.$
Gọi độ dài đoạn MN là x với $\left( 0<x<a \right)$ thì $MQ=\dfrac{\left( a-x \right)\sqrt{3}}{2}.$
Thể tích của hình hộp chữ nhật $MNPQ.{M}'{N}'{P}'{Q}'$ là $V=\dfrac{ax\left( a-x \right)\sqrt{3}}{2}.$
Xét hàm số $f\left( x \right)=\dfrac{a\sqrt{3}x\left( a-x \right)}{2}$ có
${f}'\left( x \right)=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\left( a-2x \right);{f}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow x=\dfrac{a}{2}$
Vậy thể tích lớn nhất của hình hộp chữ nhật $MNPQ.{M}'{N}'{P}'{Q}'$ là $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{8}.$
Đáp án C.