Google
Câu hỏi: Cho lăng trụ ${ABCD.A'B'C'D}$ có đáy là hình chữ nhật với ${AB=\sqrt{6}}$, ${AD=\sqrt{3}}$, ${A'C=3}$ và mặt phẳng ${\left(AA'C'C\right)}$ vuông góc với mặt đáy. Biết hai mặt phẳng ${\left(AA'C'C\right)}$ và ${\left(AA'B'B\right)}$ tạo với nhau góc ${\alpha}$ có ${\tan \alpha=\dfrac{3}{4}}$. Thể tích ${V}$ của khối lăng trụ ${ABCD.A'B'C'D'}$ là
A. ${12}$.
B. ${6}$.
C. ${8}$.
D. ${10}$.
Dễ thấy ${A'C'=\sqrt{A'D'^2+A'B'^2}=3=A'C}$ cho nên tam giác ${A'CC'}$ cân tại ${A'}$, do đó ${A'F\perp CC'}$, với ${F}$ là trung điểm của ${CC'}$. Gọi ${E}$ là điểm thỏa mãn ${\overrightarrow{C'E}=\dfrac{3}{2}\overrightarrow{C'D'}}$.
Khi đó ${C'E=\dfrac{3\sqrt{6}}{2}}$ và ${D'E=\dfrac{\sqrt{6}}{2}}$, suy ra ${A'E^2+A'C^2=A'D'^2+D'E^2+A'C'^2=\dfrac{27}{2}=C'E^2}$
hay tam giác ${EA'C'}$ vuông tại ${A'}$. Lại có mặt ${\left(AA'C'C\right)}$ vuông góc với đáy nên ${EA'\perp \left(AA'C'C\right)}$, suy ra ${EA'\perp A'F}$ và ${CC'\perp (EA'F)}$, do đó
${\widehat{EFA'}=\left(A'F,EF\right)=\left(\left(AA'C'A\right),\left(CDD'C'\right)\right)=\left(\left(AA'C'C\right), \left(AA'B'B\right)\right)=\alpha}$
Ta có ${EA'=\sqrt{D'E^2+A'D'^2}=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}}$, suy ra ${A'F=A'E\cot\alpha=2\sqrt{2}}$ và ${CC'=2\sqrt{A'C'^2-A'F^2}=2}$, do đó chiều cao của khối lăng trụ là ${h=d\left(C, \left(A'B'C'D'\right)\right)=d\left(C,A'C'\right)=\dfrac{A'F\cdot CC'}{A'C'}=\dfrac{4\sqrt{2}}{3}.}$
Vậy ${V=AB\cdot AD\cdot h=8}$.
A. ${12}$.
B. ${6}$.
C. ${8}$.
D. ${10}$.
Khi đó ${C'E=\dfrac{3\sqrt{6}}{2}}$ và ${D'E=\dfrac{\sqrt{6}}{2}}$, suy ra ${A'E^2+A'C^2=A'D'^2+D'E^2+A'C'^2=\dfrac{27}{2}=C'E^2}$
hay tam giác ${EA'C'}$ vuông tại ${A'}$. Lại có mặt ${\left(AA'C'C\right)}$ vuông góc với đáy nên ${EA'\perp \left(AA'C'C\right)}$, suy ra ${EA'\perp A'F}$ và ${CC'\perp (EA'F)}$, do đó
${\widehat{EFA'}=\left(A'F,EF\right)=\left(\left(AA'C'A\right),\left(CDD'C'\right)\right)=\left(\left(AA'C'C\right), \left(AA'B'B\right)\right)=\alpha}$
Ta có ${EA'=\sqrt{D'E^2+A'D'^2}=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}}$, suy ra ${A'F=A'E\cot\alpha=2\sqrt{2}}$ và ${CC'=2\sqrt{A'C'^2-A'F^2}=2}$, do đó chiều cao của khối lăng trụ là ${h=d\left(C, \left(A'B'C'D'\right)\right)=d\left(C,A'C'\right)=\dfrac{A'F\cdot CC'}{A'C'}=\dfrac{4\sqrt{2}}{3}.}$
Vậy ${V=AB\cdot AD\cdot h=8}$.
Đáp án C.