Google
Câu hỏi: Cho lăng trụ $ABCD.A'B'C'D'$ có chiều cao bằng $2a$ và đáy là hình vuông có cạnh bằng $a.$ Gọi $M,N,P$ và $Q$ lần lượt là tâm của các mặt bên $ABB'A',BCC'B',CDD'C'$ và $ADD'A'.$ Thể tích của khối đa diện lồi có các đỉnh là các điểm $A,B,C,D,M,N,P,Q$ bằng:
A. $\dfrac{{{a}^{3}}}{6}$
B. $\dfrac{5{{a}^{3}}}{6}$
C. $\dfrac{5{{a}^{3}}}{3}$
D. $\dfrac{125{{a}^{3}}}{3}$
A. $\dfrac{{{a}^{3}}}{6}$
B. $\dfrac{5{{a}^{3}}}{6}$
C. $\dfrac{5{{a}^{3}}}{3}$
D. $\dfrac{125{{a}^{3}}}{3}$
Phương pháp:
- Sử dụng phân chia khối đa diện
- Sử dụng công thức tính thể tích hình hộp $V=S.h$ với $S$ là diện tích đáy, $h$ là chiều cao hình hộp.
- Sử dụng công thức tính thể tích khối chóp $V=\dfrac{1}{3}S.h$ với $S$ là diện tích đáy, $h$ là chiều cao hình hộp.
Cách giải:
Thể tích hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ là $V=2a.{{a}^{2}}=2{{a}^{3}}$
Qua $M$ kẻ đường thẳng song song với $AB$ cắt $AA',BB'$ lần lượt tại $A'';B''.$
Qua $P$ kẻ đường thẳng song song với $DC$ cắt $DD',CC'$ lần lượt tại $D'';C''.$
Suy ra $A'';Q;D''$ thẳng hàng và $A''D''//AD;B'';N;C''$ thẳng hàng và $B''C''//BC$
Ta có $M,N,P,Q$ lần lượt là trung điểm của $A''B'',B''C'',C''D'',D''A''$
$A'',B'',C'',D''$ lần lượt là trung điểm của $AA',BB',CC',DD'.$
Suy ra ${{V}_{ABCD.A''B''C''D''}}=\dfrac{1}{2}{{V}_{ABCD.A'B'C'D'}}=\dfrac{1}{2}.72=36$
Ta có ${{V}_{ABCD.MNPQ}}={{V}_{ABCD.A''B''C''D''}}-{{V}_{D.QD''P}}-{{V}_{C.NC''P}}-{{V}_{B.MNB''}}-{{V}_{A.QMA''}}$
${{V}_{D.QD''P}}=\dfrac{1}{3}.{{S}_{QD''P}}.d\left( D;\left( QD''P \right) \right)$
$=\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2}QD''.D''P.\sin \angle QD''P.d\left( D;\left( A''B''C''D'' \right) \right)$
$=\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{2}AD.\dfrac{1}{2}DC.\sin \angle ADC.d\left( D;\left( A''B''C''D'' \right) \right)$
$=\dfrac{1}{24}.AD.DC.\sin \angle ADC.d\left( D;\left( A''B''C''D'' \right) \right)$
$=\dfrac{1}{24}.{{S}_{ABCD}}.d\left( D;\left( A''B''C''D'' \right) \right)$
$=\dfrac{1}{24}.{{V}_{ABCD.A''B''C''D''}}$
$=\dfrac{1}{24}.2{{a}^{3}}=\dfrac{{{a}^{3}}}{12}$
Tương tự ta có ${{V}_{C.NC''P}}={{V}_{B.MNB''}}={{V}_{A.QMA''}}=\dfrac{{{a}^{3}}}{12}$
Suy ra ${{V}_{ABCD.MNPQ}}={{V}_{ABCD.A''B''C''D''}}-{{V}_{D.QD''P}}-{{V}_{C.NC''P}}-{{V}_{B.MNB''}}-{{V}_{A.QMA''}}=2{{a}^{3}}-4.\dfrac{{{a}^{3}}}{12}=\dfrac{5{{a}^{3}}}{3}.$
- Sử dụng phân chia khối đa diện
- Sử dụng công thức tính thể tích hình hộp $V=S.h$ với $S$ là diện tích đáy, $h$ là chiều cao hình hộp.
- Sử dụng công thức tính thể tích khối chóp $V=\dfrac{1}{3}S.h$ với $S$ là diện tích đáy, $h$ là chiều cao hình hộp.
Cách giải:
Thể tích hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ là $V=2a.{{a}^{2}}=2{{a}^{3}}$
Qua $M$ kẻ đường thẳng song song với $AB$ cắt $AA',BB'$ lần lượt tại $A'';B''.$
Qua $P$ kẻ đường thẳng song song với $DC$ cắt $DD',CC'$ lần lượt tại $D'';C''.$
Suy ra $A'';Q;D''$ thẳng hàng và $A''D''//AD;B'';N;C''$ thẳng hàng và $B''C''//BC$
Ta có $M,N,P,Q$ lần lượt là trung điểm của $A''B'',B''C'',C''D'',D''A''$
$A'',B'',C'',D''$ lần lượt là trung điểm của $AA',BB',CC',DD'.$
Suy ra ${{V}_{ABCD.A''B''C''D''}}=\dfrac{1}{2}{{V}_{ABCD.A'B'C'D'}}=\dfrac{1}{2}.72=36$
Ta có ${{V}_{ABCD.MNPQ}}={{V}_{ABCD.A''B''C''D''}}-{{V}_{D.QD''P}}-{{V}_{C.NC''P}}-{{V}_{B.MNB''}}-{{V}_{A.QMA''}}$
${{V}_{D.QD''P}}=\dfrac{1}{3}.{{S}_{QD''P}}.d\left( D;\left( QD''P \right) \right)$
$=\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2}QD''.D''P.\sin \angle QD''P.d\left( D;\left( A''B''C''D'' \right) \right)$
$=\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{2}AD.\dfrac{1}{2}DC.\sin \angle ADC.d\left( D;\left( A''B''C''D'' \right) \right)$
$=\dfrac{1}{24}.AD.DC.\sin \angle ADC.d\left( D;\left( A''B''C''D'' \right) \right)$
$=\dfrac{1}{24}.{{S}_{ABCD}}.d\left( D;\left( A''B''C''D'' \right) \right)$
$=\dfrac{1}{24}.{{V}_{ABCD.A''B''C''D''}}$
$=\dfrac{1}{24}.2{{a}^{3}}=\dfrac{{{a}^{3}}}{12}$
Tương tự ta có ${{V}_{C.NC''P}}={{V}_{B.MNB''}}={{V}_{A.QMA''}}=\dfrac{{{a}^{3}}}{12}$
Suy ra ${{V}_{ABCD.MNPQ}}={{V}_{ABCD.A''B''C''D''}}-{{V}_{D.QD''P}}-{{V}_{C.NC''P}}-{{V}_{B.MNB''}}-{{V}_{A.QMA''}}=2{{a}^{3}}-4.\dfrac{{{a}^{3}}}{12}=\dfrac{5{{a}^{3}}}{3}.$
Đáp án C.