Google
Câu hỏi: Cho lăng trụ $ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'$ có đáy ABCD là hình chữ nhật với $AB=\sqrt{6},AD=\sqrt{3},$ ${A}'C=3$ và mặt phẳng $\left( A{A}'{C}'C \right)$ vuông góc với đáy. Biết mặt phẳng $\left( A{A}'{C}'C \right)$ và $\left( A{A}'{B}'B \right)$ tạo với nhau góc $\alpha ,$ thỏa mãn $\tan \alpha =\dfrac{3}{4}.$ Thể tích khối lăng trụ $ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'$ bằng
A. V = 10.
B. V = 8.
C. V = 12.
D. V = 6.
Gọi M là trung điểm của $A{A}'.$
Ta có $AC=\sqrt{A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}}=\sqrt{6+3}=3={A}'C.$ Do đó tam giác $A{A}'C$ cân tại C.
Dựng ${A}'E\bot AC,$ do $\left( A{A}'{C}'C \right)$ vuông góc với đáy nên ${A}'E\bot \left( ABCD \right).$
Lấy $F\in AB$ sao cho $FE\bot AC,$ mà $FE\bot {A}'E$ nên $FE\bot \left( AC{C}'{A}' \right),$ suy ra $FE\bot A{A}'.$
Dựng $EG\bot A{A}'$ mà $FE\bot A{A}'$ nên $FG\bot A{A}'.$ Do đó góc giữa mặt phẳng $\left( A{A}'{C}'C \right)$ và $\left( A{A}'{B}'B \right)$ là góc $\widehat{EGF}.$
Ta có: $\tan \widehat{EGF}=\dfrac{EF}{EG}=\dfrac{3}{4}\Rightarrow EG=\dfrac{4}{3}EF,$ mà $\tan \widehat{EAF}=\dfrac{EF}{EA}=\dfrac{BC}{AB}=\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{6}}\Rightarrow EA=\sqrt{2}EF.$
Từ đó suy ra: $\sin \widehat{GAE}=\dfrac{GE}{AE}=\dfrac{\dfrac{4}{3}EF}{\sqrt{2}EF}=\dfrac{2\sqrt{2}}{3}=\dfrac{MC}{AC}\Rightarrow MC=2\sqrt{2}.$
$AM=\sqrt{A{{C}^{2}}-M{{C}^{2}}}=\sqrt{9-8}=1\Rightarrow A{A}'=2.$
Ta có: $\sin \widehat{GAE}=\dfrac{2\sqrt{2}}{3}=\dfrac{{A}'E}{A{A}'}=\dfrac{{A}'E}{2}\Rightarrow {A}'E=\dfrac{4\sqrt{2}}{3}.$
Vậy thể tích khối lăng trụ $ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'$ là $V={A}'E.AB.BC=\dfrac{4\sqrt{2}}{3}.\sqrt{6}.\sqrt{3}=8.$
A. V = 10.
B. V = 8.
C. V = 12.
D. V = 6.
Gọi M là trung điểm của $A{A}'.$
Ta có $AC=\sqrt{A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}}=\sqrt{6+3}=3={A}'C.$ Do đó tam giác $A{A}'C$ cân tại C.
Dựng ${A}'E\bot AC,$ do $\left( A{A}'{C}'C \right)$ vuông góc với đáy nên ${A}'E\bot \left( ABCD \right).$
Lấy $F\in AB$ sao cho $FE\bot AC,$ mà $FE\bot {A}'E$ nên $FE\bot \left( AC{C}'{A}' \right),$ suy ra $FE\bot A{A}'.$
Dựng $EG\bot A{A}'$ mà $FE\bot A{A}'$ nên $FG\bot A{A}'.$ Do đó góc giữa mặt phẳng $\left( A{A}'{C}'C \right)$ và $\left( A{A}'{B}'B \right)$ là góc $\widehat{EGF}.$
Ta có: $\tan \widehat{EGF}=\dfrac{EF}{EG}=\dfrac{3}{4}\Rightarrow EG=\dfrac{4}{3}EF,$ mà $\tan \widehat{EAF}=\dfrac{EF}{EA}=\dfrac{BC}{AB}=\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{6}}\Rightarrow EA=\sqrt{2}EF.$
Từ đó suy ra: $\sin \widehat{GAE}=\dfrac{GE}{AE}=\dfrac{\dfrac{4}{3}EF}{\sqrt{2}EF}=\dfrac{2\sqrt{2}}{3}=\dfrac{MC}{AC}\Rightarrow MC=2\sqrt{2}.$
$AM=\sqrt{A{{C}^{2}}-M{{C}^{2}}}=\sqrt{9-8}=1\Rightarrow A{A}'=2.$
Ta có: $\sin \widehat{GAE}=\dfrac{2\sqrt{2}}{3}=\dfrac{{A}'E}{A{A}'}=\dfrac{{A}'E}{2}\Rightarrow {A}'E=\dfrac{4\sqrt{2}}{3}.$
Vậy thể tích khối lăng trụ $ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'$ là $V={A}'E.AB.BC=\dfrac{4\sqrt{2}}{3}.\sqrt{6}.\sqrt{3}=8.$
Note 46: Phương pháp chung
Sử dụng kiến thức về góc để xác định các góc từ đó tính toán được các yếu tố như diện tích đáy và chiều cao. Khi đó sử dụng công thức thể tích lăng trụ $V=S.h.$Đáp án B.