Google
Câu hỏi: Cho lăng trụ $ABC.A'B'C',$ trên các cạnh $AA',BB'$ lấy các điểm M, N sao cho $AA'=4A'M,BB'=4B'N.$ Mặt phẳng $\left( C'MN \right)$ chia khối lăng trụ đã cho thành hai phần. Gọi ${{V}_{1}}$ là thể tích của khối chóp $C'.A'B'NM,{{V}_{2}}_{{}}$ là thể tích của khối đa diện $ABCMNC'.$ Tỉ số $\dfrac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}$ bằng
A. $\dfrac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=\dfrac{2}{5}$
B. $\dfrac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=\dfrac{1}{5}$
C. $\dfrac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=\dfrac{3}{5}$
D. $\dfrac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=\dfrac{1}{6}$
A. $\dfrac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=\dfrac{2}{5}$
B. $\dfrac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=\dfrac{1}{5}$
C. $\dfrac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=\dfrac{3}{5}$
D. $\dfrac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=\dfrac{1}{6}$
Đặt $V={{V}_{ABC.A'B'C'}}$
Lấy điểm E trên $CC'$ sao cho $CC'=4C'E.$
Suy ra $\dfrac{A'M}{A'A}=\dfrac{B'N}{B'B}=\dfrac{C'E}{C'C}=\dfrac{1}{4}\Rightarrow $ $\left( MNE \right)//\left( ABC \right).$
Ta có: ${{V}_{C'MNE}}=\dfrac{1}{3}{{V}_{A'B'C'.MNE}}$ (chóp và lăng trụ có chung đáy, đường cao)
$\Rightarrow {{V}_{1}}=\dfrac{2}{3}{{V}_{A'B'C'.MNE}}$
Mặt khác ${{V}_{A'B'C'.MNE}}=\dfrac{1}{4}V$ (hai lăng trụ có chung đáy và tỉ lệ đường cao bằng $\dfrac{d\left( M,\left( A'B'C' \right) \right)}{d\left( A,\left( A'B'C' \right) \right)}=\dfrac{MA'}{AA'}=\dfrac{1}{4}$
Suy ra ${{V}_{1}}=\dfrac{2}{3}.\dfrac{1}{4}V=\dfrac{1}{6}V\Rightarrow {{V}_{2}}=V-\dfrac{1}{6}V=\dfrac{5}{6}V\Rightarrow \dfrac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=\dfrac{1}{5}$
Lấy điểm E trên $CC'$ sao cho $CC'=4C'E.$
Suy ra $\dfrac{A'M}{A'A}=\dfrac{B'N}{B'B}=\dfrac{C'E}{C'C}=\dfrac{1}{4}\Rightarrow $ $\left( MNE \right)//\left( ABC \right).$
Ta có: ${{V}_{C'MNE}}=\dfrac{1}{3}{{V}_{A'B'C'.MNE}}$ (chóp và lăng trụ có chung đáy, đường cao)
$\Rightarrow {{V}_{1}}=\dfrac{2}{3}{{V}_{A'B'C'.MNE}}$
Mặt khác ${{V}_{A'B'C'.MNE}}=\dfrac{1}{4}V$ (hai lăng trụ có chung đáy và tỉ lệ đường cao bằng $\dfrac{d\left( M,\left( A'B'C' \right) \right)}{d\left( A,\left( A'B'C' \right) \right)}=\dfrac{MA'}{AA'}=\dfrac{1}{4}$
Suy ra ${{V}_{1}}=\dfrac{2}{3}.\dfrac{1}{4}V=\dfrac{1}{6}V\Rightarrow {{V}_{2}}=V-\dfrac{1}{6}V=\dfrac{5}{6}V\Rightarrow \dfrac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=\dfrac{1}{5}$
Đáp án B.