Cho lăng trụ $A B C . A^{'} B^{'} C^{'}$ có đáy là tam giác đều cạnh $a$ , hình...

The Funny · 25/5/23

Câu hỏi: Cho lăng trụ

A B C . A^{'} B^{'} C^{'}

có đáy là tam giác đều cạnh

a

, hình chiếu vuông góc của

A

lên

(A B C)

trùng với trọng tâm của tam giác

A B C

. Một mặt phẳng

(P)

chứa

B C

và vuông góc với

A A^{'}

cắt hình lăng trụ

A B C . A^{'} B^{'} C^{'}

theo một thiết diện có diện tích bằng

\frac{a^{2} \sqrt{3}}{8}

. Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng

A.

\frac{a^{3} \sqrt{3}}{4}

.
B.

\frac{2 a^{3} \sqrt{3}}{3}

.
C.

\frac{a^{3} \sqrt{3}}{12}

.
D.

\frac{a^{3} \sqrt{3}}{10}

.

Gọi

M

là trung điểm

B C

\Rightarrow

(A A^{'} M)

là mặt phẳng trung trực của

B C

\Rightarrow B C ⊥ (A A^{'} M)

.
Kẻ

M H ⊥ A A^{'}

\Rightarrow A A^{'} ⊥ (H B C) \Rightarrow (H B C) \equiv (P)

.
Khi đó thiết diện tạo bởi

(P)

và lăng trụ

A B C . A^{'} B^{'} C^{'}

là tam giác

H B C

.
Ta có

S_{H B C} = \frac{1}{2} H M . B C = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{8} \Leftrightarrow H M = \frac{a \sqrt{3}}{4}

\Rightarrow d (G, A A^{'}) = \frac{2}{3} d (M, A A^{'}) = \frac{2}{3} H M = \frac{a \sqrt{3}}{6}

.
Xét tam giác

A^{'} G A

vuông tại

G

, ta có:

\frac{1}{d^{2} (G, A A^{'})} = \frac{1}{G A^{2}} + \frac{1}{G A {^{'}}^{2}} \Leftrightarrow \frac{1}{{(\frac{a \sqrt{3}}{6})}^{2}} = \frac{1}{{(\frac{a \sqrt{3}}{2} . \frac{2}{3})}^{2}} + \frac{1}{G A {^{'}}^{2}} \Leftrightarrow G A^{'} = \frac{1}{3} \Rightarrow V_{A B C . A^{'} B^{'} C^{'}} = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{12}

.

Đáp án C.

Cho lăng trụ ABC.A′B′C′ có đáy là tam giác đều cạnh a, hình...