Google
Câu hỏi: Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của điểm A lên mặt phẳng $\left( ABC \right)$ trùng với trọng tâm tam giác ABC. Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng AA' và BC bằng $\dfrac{a\sqrt{3}}{4}$. Thể tích của khối lăng trụ là:
A. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{12}.$
B. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{6}.$
C. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}.$
D. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{24}.$
Gọi H là trọng tâm tam giác ABC và I là trung điểm BC. Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& A'H\bot BC \\
& AI\bot BC \\
& A'H\cap AI=\left\{ H \right\} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BC\bot \left( A'AI \right)\Rightarrow BC\bot AA'$.
Gọi K là hình chiếu vuông góc của I lên AA'. Khi đó IK là đoạn vuông góc chung của AA' và BC nên $IK=d\left( AA',BC \right)=\dfrac{a\sqrt{3}}{4}$.
Xét tam giác vuông AIK vuông tại K có: $IK=\dfrac{a\sqrt{3}}{4},AI=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\Rightarrow IK=\dfrac{1}{2}AI\Rightarrow \widehat{KAI}=30{}^\circ $.
Xét tam giác vuông AA'H vuông tại H có: $A'H=AH.\tan 30{}^\circ =\dfrac{a\sqrt{3}}{3}.\dfrac{\sqrt{3}}{3}=\dfrac{a}{3}$.
Vậy ${{V}_{ABCA'B'C'}}=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}.\dfrac{a}{3}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{12}$.
A. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{12}.$
B. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{6}.$
C. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}.$
D. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{24}.$
Gọi H là trọng tâm tam giác ABC và I là trung điểm BC. Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& A'H\bot BC \\
& AI\bot BC \\
& A'H\cap AI=\left\{ H \right\} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BC\bot \left( A'AI \right)\Rightarrow BC\bot AA'$.
Gọi K là hình chiếu vuông góc của I lên AA'. Khi đó IK là đoạn vuông góc chung của AA' và BC nên $IK=d\left( AA',BC \right)=\dfrac{a\sqrt{3}}{4}$.
Xét tam giác vuông AIK vuông tại K có: $IK=\dfrac{a\sqrt{3}}{4},AI=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\Rightarrow IK=\dfrac{1}{2}AI\Rightarrow \widehat{KAI}=30{}^\circ $.
Xét tam giác vuông AA'H vuông tại H có: $A'H=AH.\tan 30{}^\circ =\dfrac{a\sqrt{3}}{3}.\dfrac{\sqrt{3}}{3}=\dfrac{a}{3}$.
Vậy ${{V}_{ABCA'B'C'}}=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}.\dfrac{a}{3}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{12}$.
Đáp án A.