Google
Câu hỏi: Cho lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}'.$ Đường thẳng đi qua trọng tâm của tam giác $ABC$ và song song với $BC$ cắt các cạnh $AB,AC$ lần lượt tại $M,N$. Mặt phẳng $\left( {A}'MN \right)$ chia khối lăng trụ thành hai phần. Tỉ số thể tích của phần bé và phần lớn là
A. $\dfrac{4}{23}$.
B. $\dfrac{2}{3}$.
C. $\dfrac{4}{9}$.
D. $\dfrac{4}{27}$.
Gọi $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$. Gọi $E$ là trung điểm của $BC\Rightarrow \dfrac{AG}{AE}=\dfrac{2}{3}$
Đường thẳng $d$ đi qua $G$ và song song $BC$, cắt các cạnh $AB,AC$ lần lượt tại $M,N$.
$\Rightarrow \dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{AG}{AE}=\dfrac{2}{3}\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& AM=\dfrac{2}{3}AB \\
& AN=\dfrac{2}{3}AC \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow {{S}_{\vartriangle AMN}}=\dfrac{4}{9}{{S}_{\vartriangle ABC}} (1)$
Ta có ${{V}_{ABC.A'B'C'}}={{S}_{\vartriangle ABC}}.AA'$ và ${{V}_{A'.AMN}}=\dfrac{1}{3}{{S}_{\vartriangle AMN}}.A{A}' (2)$
Từ (1) và (2)
${{V}_{A'.AMN}}=\dfrac{4}{27}{{V}_{ABC.A'B'C'}}\Rightarrow \dfrac{{{V}_{A'.AMN}}}{{{V}_{BmnC.A'B'C'}}}=\dfrac{4}{23}$.
A. $\dfrac{4}{23}$.
B. $\dfrac{2}{3}$.
C. $\dfrac{4}{9}$.
D. $\dfrac{4}{27}$.
Đường thẳng $d$ đi qua $G$ và song song $BC$, cắt các cạnh $AB,AC$ lần lượt tại $M,N$.
$\Rightarrow \dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{AG}{AE}=\dfrac{2}{3}\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& AM=\dfrac{2}{3}AB \\
& AN=\dfrac{2}{3}AC \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow {{S}_{\vartriangle AMN}}=\dfrac{4}{9}{{S}_{\vartriangle ABC}} (1)$
Ta có ${{V}_{ABC.A'B'C'}}={{S}_{\vartriangle ABC}}.AA'$ và ${{V}_{A'.AMN}}=\dfrac{1}{3}{{S}_{\vartriangle AMN}}.A{A}' (2)$
Từ (1) và (2)
${{V}_{A'.AMN}}=\dfrac{4}{27}{{V}_{ABC.A'B'C'}}\Rightarrow \dfrac{{{V}_{A'.AMN}}}{{{V}_{BmnC.A'B'C'}}}=\dfrac{4}{23}$.
Đáp án A.
