Google
Câu hỏi: Cho lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có thể tích là $V$. Gọi $M$, $N$, $P$ lần lượt là các điểm nằm trên các cạnh $A{A}'$, $B{B}'$, $C{C}'$ sao cho $\dfrac{AM}{A{A}'}=\dfrac{1}{3}$, $\dfrac{BN}{B{B}'}=x$, $\dfrac{CP}{C{C}'}=y$. Biết thể tích khối đa diện $ABC.MNP$ bằng $\dfrac{2V}{3}$. Giá trị lớn nhất của $xy$ bằng
A. $\dfrac{17}{21}$.
B. $\dfrac{25}{36}$.
C. $\dfrac{5}{24}$.
D. $\dfrac{9}{16}$.
Áp dụng công thức tính nhanh, ta có $\dfrac{{{V}_{ABC.MNP}}}{{{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}}=\dfrac{\dfrac{AM}{A{A}'}+\dfrac{BN}{B{B}'}+\dfrac{CP}{C{C}'}}{3}=\dfrac{\dfrac{1}{3}+x+y}{3}=\dfrac{\dfrac{2V}{3}}{V}=\dfrac{2}{3}$
$\Rightarrow \dfrac{1}{3}+x+y=2\Rightarrow x+y=\dfrac{5}{3}$.
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có $xy\le \dfrac{{{\left( x+y \right)}^{2}}}{4}=\dfrac{{{\left( \dfrac{5}{3} \right)}^{2}}}{4}=\dfrac{25}{36}$.
Vậy giá trị lớn nhất của $xy$ bằng $\dfrac{25}{36}$.
A. $\dfrac{17}{21}$.
B. $\dfrac{25}{36}$.
C. $\dfrac{5}{24}$.
D. $\dfrac{9}{16}$.
$\Rightarrow \dfrac{1}{3}+x+y=2\Rightarrow x+y=\dfrac{5}{3}$.
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có $xy\le \dfrac{{{\left( x+y \right)}^{2}}}{4}=\dfrac{{{\left( \dfrac{5}{3} \right)}^{2}}}{4}=\dfrac{25}{36}$.
Vậy giá trị lớn nhất của $xy$ bằng $\dfrac{25}{36}$.
Đáp án B.